Antwoord:
Het punt # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) approx (1.26694,1.16437) # is een lokaal minimum punt.
Uitleg:
De eerste-orde partiële afgeleiden zijn # (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) = y-3x ^ {- 4} # en # (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke y) = x-2y ^ {- 3} #. Als deze beide gelijk zijn aan nul, resulteert dit in het systeem # Y = 3 / x ^ (4) # en # X = 2 / y ^ {3} #. Het substitueren van de eerste vergelijking in de tweede geeft # X = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2 x ^ {12}) / 27 #. Sinds #x! = 0 # in het domein van # F #, dit resulteert in # X ^ {11} = 27/2 # en # X = (27/2) ^ {11/01} # zodat # Y = 3 / ((27/2) ^ {11/04}) = 3 * (2/27) ^ {11/04} #
De tweede orde partiële derivaten zijn # (gedeeltelijke ^ {2} f) / (gedeeltelijke x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (gedeeltelijke ^ {2} f) / (gedeeltelijke y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, en # (gedeeltelijke ^ {2} f) / (gedeeltelijke x gedeeltelijke y) = (gedeeltelijke ^ {2} f) / (gedeeltelijke y gedeeltelijke x) = 1 #.
De discriminant is daarom # D = (gedeeltelijke ^ {2} f) / (gedeeltelijke x ^ {2}) * (gedeeltelijke ^ {2} f) / (gedeeltelijke y ^ {2}) - ((gedeeltelijke ^ {2} f) / (partial x partial y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. Dit is positief op het kritieke punt.
Omdat de zuivere (niet-gemengde) tweede-orde partiële derivaten ook positief zijn, volgt hieruit dat het kritieke punt een lokaal minimum is.
