Antwoord:
Zie hieronder.
Uitleg:
Roeping # E-> F (x, y, z) = ax ^ 2 + by + cz ^ 2 ^ 2-1 = 0 #
Als #p_i = (x_i, y_i, z_i) in E # dan
# Ax_ix by_iy + + cz_iz = 1 # is een vlak dat raakt # E # omdat heeft een gemeenschappelijk punt en #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # is normaal voor # E #
Laat # Pi-> alpha x + beta y + gamma z = delta # een algemeen vlak zijn dat raakt # E # dan
# {(x_i = alpha / (een delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c delta)):} #
maar
# Ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # zo
# Alpha ^ 2 / a + P ^ 2 / b + y ^ 2 / c = delta ^ 2 # en de generieke tangent plane-vergelijking is
#alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt (alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c) #
Nu gegeven drie orthogonale vlakken
# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #
en bellen #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # en maken
#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # we kunnen kiezen
#V cdot V ^ T = I_3 #
en als gevolg daarvan
# V ^ Tcdot V = I_3 #
dan hebben we ook
# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i alpha_i beta_i = 0), (sum_i alpha_i gamma_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0):} #
Nu toevoegen #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # wij hebben
# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy sum (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + sum (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^ 2 #
en tenslotte
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #
maar #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
zo
# X ^ 2 + y ^ 2 ^ 2 + z = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
dat is het pad dat wordt gevolgd door het snijpunt van drie onderling loodrechte raakvlakken naar de ellipsoïde.
Bijgevoegd een plot voor de ellipsoïde
# X ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #
