K is een reëel getal dat voldoet aan de volgende eigenschap: "voor elke 3 positieve getallen, a, b, c; als a + b + c <K dan abc <K" Kunt u de grootste waarde van K vinden?

Antwoord:

# K = 3sqrt (3) #

Uitleg:

Als we het volgende doen:

# a = b = c = K / 3 #

Dan:

#abc = K ^ 3/27 <= K #

Zo:

# K ^ 2 <= 27 #

Zo:

#K <= sqrt (27) = 3sqrt (3) #

Als we hebben # A + b + c <= 3sqrt (3) # dan kunnen we zien dat de zaak # A = b = c = sqrt (3) # geeft de maximaal mogelijke waarde van #abc#:

Als we het bijvoorbeeld oplossen #c in (0, 3sqrt (3)) # en laat #d = 3sqrt (3) -c #, dan:

# a + b = d #

Zo:

#abc = a (d-a) c #

#color (white) (abc) = (ad-a ^ 2) c #

#color (wit) (abc) = (d ^ 2 / 4- (a ^ 2-2 (a) (d / 2) + (d / 2) ^ 2)) c #

#color (white) (abc) = (d ^ 2- (a-d / 2) ^ 2) c #

die zijn maximale waarde heeft wanneer # A = d / 2 # en # B = d / 2 #, dat is wanneer # A = b #.

Evenzo als we het oplossen # B #, dan vinden we dat het maximum is wanneer # A = c #.

Vandaar de maximale waarde van #abc# wordt bereikt wanneer # A = b = c #.

Zo # K = 3sqrt (3) # is de maximaal mogelijke waarde van # A + b + c # zoals dat #abc <= K #