Wat zijn complexe getallen? Thanx.

Complexe getallen zijn getallen van het formulier # A + bi # waar #een# en # B # zijn echte cijfers en #ik# is gedefinieerd als # I = sqrt (-1) #.

(Het bovenstaande is een basisdefinitie van complexe getallen. Lees voor meer informatie hierover.)

Heel erg zoals hoe wij de reeks echte aantallen zoals wijzen # RR #, we duiden de reeks complexe getallen aan als # CC #. Merk op dat alle reële getallen ook complexe getallen zijn, zoals elk reëel getal #X# kan worden geschreven als # X + 0i #.

Gezien een complex aantal # Z = a + bi #, we zeggen dat #een# is de echt deel van het complexe getal (aangegeven # "Re" (z) #) en # B # is de denkbeeldige deel van het complexe getal (aangegeven # "Im" (z) #).

Het uitvoeren van bewerkingen met complexe getallen is vergelijkbaar met het uitvoeren van bewerkingen op binomials. Gegeven twee complexe getallen # z_1 = a_1 + b_1i # en # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = A_1a_2 a_1b_2i + + + a_2b_1i b_1b_2i ^ 2 #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (onthouden # I = sqrt (-1) #)

# = (A_1a_2-b_1b_2) + (+ a_1b_2 a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((A_1 + b_1i) (A_2-b_2i)) / ((A_2 + b_2i) (A_2-b_2i)) #

# = ((A_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (A_2 ^ 2 + B_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Voor verdeling gebruikten we het feit dat # (A + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Gezien een complex aantal # Z = a + bi # wij bellen # A-bi # de complex geconjugeerd van # Z # en geef het aan #bar (z) # Het is een nuttige eigenschap (zoals hierboven te zien) dat #zbar (z) # is altijd een reëel getal.

De complexe getallen hebben veel nuttige toepassingen en attributen, maar een die vaak vroeg wordt aangetroffen, is hun gebruik in factoring-polynomen. Als we ons beperken tot alleen echte getallen, een polynoom zoals # X ^ 2 + 1 # kan niet verder worden verwerkt, maar als we complexe getallen toelaten, dan hebben we dat # X ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

Sterker nog, als we complexe getallen toestaan, dan ieder enkelvoudige variabele polynoom van graad # N # kan worden geschreven als het product van # N # lineaire factoren (mogelijk waarbij sommige hetzelfde zijn). Dit resultaat staat bekend als de fundamentele stelling van algebra en, zoals de naam al aangeeft, erg belangrijk voor algebra en heeft een brede toepassing.