Antwoord:
De raaklijn is parallel aan de #X# as wanneer de helling (vandaar # Dy / dx #) is nul en is parallel aan de # Y # as wanneer de helling (opnieuw, # Dy / dx #) gaat naar # Oo # of # -Oo #
Uitleg:
We zullen beginnen met het vinden # Dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Nu, # dy / dx = 0 # wanneer de nuimerator is #0#, op voorwaarde dat dit niet ook de noemer is #0#.
# 2x + y = 0 # wanneer #y = -2x #
We hebben nu twee vergelijkingen:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Los op (door substitutie)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Gebruik makend van #y = -2x #, we krijgen
De raaklijn aan de curve is horizontaal op de twee punten:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # en # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Merk op dat dit paar niet ook de noemer van maakt # Dy / dx # gelijk aan #0#)
Om de punten te vinden waarop de raaklijn verticaal is, maakt u de noemer van # Dy / dx # gelijke tpo #0# (zonder ook de teller te maken #0#).
We zouden door de oplossing kunnen gaan, maar de symmetrie van de vergelijking die we zullen krijgen:
# X = -2j #, dus
#y = + - sqrt21 / 3 #
en de punten op de curve waarop de raaklijn verticaal is, zijn:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # en # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Trouwens. Omdat we de technologie wel hebben, is hier de grafiek van deze geroteerde ellips: (Merk op dat # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # die je in de grafiek kunt zien.)
grafiek {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}
Antwoord:
Met alleen wiskunde op de middelbare school krijg ik
Raaklijnen evenwijdig aan de x-as op:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) en (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Raaklijnen evenwijdig aan de y-as bij:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) en (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Uitleg:
Ik wierp een blik op Jim's antwoord, dat eruitziet als een mooie, standaard calculusbehandeling. Maar ik kon het niet helpen, maar voelde me verdrietig voor alle middelbare scholieren in Socratisch land die raaklijnen van algebraïsche krommen willen vinden, maar nog steeds jaren verwijderd zijn van calculus.
Gelukkig kunnen ze deze problemen alleen met Algebra I doen.
# X ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Dit is misschien een beetje ingewikkeld voor een eerste voorbeeld, maar laten we er maar mee verder gaan. We schrijven onze curve als #f (x, y) = 0 # waar
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Laten we nemen # (R, s) # als een punt op # F #. We willen onderzoeken # F # in de buurt # (R, s) # dus we schrijven
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
We breiden uit, maar we breiden de verschilvoorwaarden niet uit # X-r # en # Y-s #. We willen die intact houden zodat we kunnen experimenteren met het elimineren van wat later.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
We zeiden # (R, s) # staat aan # F # zo #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
We hebben de termen op graad gesorteerd en we kunnen met benaderingen experimenteren # F # in de buurt # (R, s) # door de hogere graden te laten vallen. Het idee is wanneer # (X, y) # is dichtbij # (R, s) # dan # X-r # en # Y-s # zijn klein en hun vierkanten en product zijn nog steeds kleiner.
Laten we wat benaderingen genereren # F #. Sinds # (R, s) # is op de curve, de constante benadering, alle verschilvoorwaarden laten vallen, is
# f_0 (x, y) = 0 #
Dat is niet bijzonder spannend, maar het vertelt ons correct in de buurt van punten # (R, s) # zal een waarde geven die bijna nul is # F #.
Laten we interessanter worden en de lineaire termen behouden.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Wanneer we dit op nul zetten, krijgen we de beste lineaire benadering van # F # in de buurt # (R, s), # welke is de raaklijn naar # F # op # (R, s). # Nu komen we ergens.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
We kunnen ook andere benaderingen overwegen:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Dit zijn tangons van hogere orde, die studenten van wiskundestudenten zelden krijgen. We zijn al verder gegaan dan college-calculus.
Er zijn meer benaderingen, maar ik ben gewaarschuwd dat dit lang wordt. Nu we hebben geleerd hoe je calculus kunt maken met alleen Algebra I, laten we het probleem dan oplossen.
We willen de punten vinden waar de raaklijn parallel loopt met de #X# as en # Y # as.
We hebben onze raaklijn gevonden # (R, s) # is
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Parallel aan de #X# as betekent een vergelijking #y = tekst {constant} #. Dus de coëfficiënt is ingeschakeld #X# moet nul zijn:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (R, s) # zit zo in de bocht #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Sinds # S = 2R # de punten zijn
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) en (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Evenzo evenwijdig aan de y-as betekent # 2s + r = 0 # die x en y gewoon moet ruilen vanwege de symmetrie van het probleem. Dus de andere punten zijn
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) en (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Controleren.
Hoe te controleren? Laten we een Alpha-plot doen.
plot x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Ziet er goed uit. Rekenen op algebraïsche krommen. Best goed voor de middelbare school.
