CO (x ^ 2 + 1) differentiëren met behulp van het eerste principe van afgeleide?

Antwoord:

# Sin (x ^ 2 + 1) * 2 x #

Uitleg:

# d / dx cos (x ^ 2 + 1) #

Voor dit probleem moeten we ketenregel gebruiken, evenals het feit dat de afgeleide van #cos (u) = -sin (u) #. Kettingregel geeft eigenlijk alleen aan dat je eerst de externe functie kunt afleiden met betrekking tot wat zich in de functie bevindt en vermenigvuldig dit dan met de afgeleide van wat zich in de functie bevindt.

Formeel, # dy / dx = dy / (du) * (du) / dx #, waar #u = x ^ 2 + 1 #.

We moeten eerst de afgeleide van het bit in de cosinus berekenen, namelijk # 2x #. Vervolgens, na het vinden van de afgeleide van de cosinus (een negatieve sinus), kunnen we het gewoon vermenigvuldigen met # 2x #.

# = - sin (x ^ 2 + 1) * 2 x #

Antwoord:

Zie onder.

Uitleg:

#f (x) = cos (x ^ 2-1) #

We moeten vinden

#lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / h = lim_ (hrarr0) (cos ((x + h) ^ 2-1) -cos (x ^ 2-1)) / h #

Laten we ons concentreren op de uitdrukking waarvan we de limiet nodig hebben.

# (Cos ((x ^ 2-1) + (2xh + h ^ 2)) - cos (x ^ 2-1)) / h #

# = (cos (x ^ 2-1) cos (2xh + h ^ 2) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) -cos (x ^ 2-1)) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / h - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) (2x + h) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) (2x + h) #

We zullen de volgende limieten gebruiken:

#lim_ (hrarr0) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) (cost-1) / t = 0 #

#lim_ (hrarr0) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) sint / t = 1 #

En #lim_ (hrarr0) (2x + h) = 2x #

Om de limiet te evalueren:

#cos (x ^ 2-1) (0) (2x) - sin (x ^ 2-1) * (1) * (2x) = -2xsin (x ^ 2-1) #