Wat is de extrema van f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 op het interval [-1,3]?

Antwoord:

We hebben een minima bij # X = 0 # en een punt van verbuiging bij # X = 3 #

Uitleg:

Een maxima is een hoogtepunt waarop een functie stijgt en dan weer daalt. Als zodanig zal de helling van de tangens of de waarde van derivaat op dat punt nul zijn.

Verder zullen, aangezien de raaklijnen aan de linkerkant van maxima naar boven aflopen, dan afvlakken en dan naar beneden aflopen, de helling van de raaklijn continu afnemen, d.w.z. de waarde van de tweede afgeleide zou negatief zijn.

Een minima daarentegen is een dieptepunt waarnaar een functie valt en vervolgens weer stijgt. Als zodanig zal de tangens of de waarde van afgeleide bij minima ook nul zijn.

Maar aangezien de raaklijnen aan de linkerkant van minima naar beneden afhellen, dan afvlakken en dan naar boven aflopen, zal de helling van de raaklijn voortdurend toenemen of de waarde van de tweede afgeleide positief zijn.

Als de tweede afgeleide nul is, hebben we een punt van

Deze maxima en minima kunnen echter ofwel universeel zijn, d.w.z. maxima of minima voor het gehele bereik of kunnen gelokaliseerd zijn, d.w.z. maxima of minima in een beperkt bereik.

Laten we dit zien aan de hand van de functie die wordt beschreven in de vraag en laten we hiervoor eerst differentiëren #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

De eerste afgeleide wordt gegeven door #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Dit zou nul zijn # X ^ 2-9 = 0 # of #X = + - 3 # of #0#. Alleen van deze #{0,3}# zijn binnen het bereik #-1,3}#.

Vandaar dat maxima of minima optreden op punten # X = 0 # en # X = 3 #.

Om te bepalen of het maxima of minima zijn, laten we kijken naar het tweede differentieel dat is #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # en dus terwijl

op # X = 0 #, #f '' (x) = 486 # en is positief

op # X = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # en is een punt van verbuiging.

Daarom hebben we een lokale minima voor # X = 0 # en een punt van verbuiging bij # X = 3 #

. grafiek {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Antwoord:

Het absolute minimum is #(-9)^3+10# (wat zich voordoet bij #0#), is het absolute maximum op het interval #10#, (wat zich voordoet bij #3#)

Uitleg:

De vraag geeft niet aan of we relatieve of absolute extrema zullen vinden, dus we zullen beide vinden.

Relatieve extrema kan alleen op kritieke aantallen voorkomen. Kritieke getallen zijn waarden van #X# die zich in het domein van bevinden # F # en waarbij ook #f '(x) = 0 # of # f '(x) bestaat niet. (Fermat's stelling)

Absolute extrema op een gesloten interval kan optreden op kritische getallen in het interval of op punten van het interval.

Omdat de functie die hier wordt gevraagd continu is ingeschakeld #-1,3#, de Extreme Value-stelling verzekert ons dat # F # moet zowel een absoluut minimum als absoluut maximum op het interval hebben.

Kritieke getallen en relatieve extrema.

Voor #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, we vinden #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Duidelijk, # F '# nooit faalt te bestaan, dus er zijn geen kritische cijfers van die soort.

Het oplossen # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # levert oplossingen op #-3#, #0#, en #3#.

#-3# is niet in het domein van dit probleem, #-1,3# dus we hoeven alleen maar te controleren #f (0) # en #f (3) #

Voor #x <0 #, wij hebben #f '(x) <0 # en

voor #x> 0 #, wij hebben #f '(x)> 0 #.

Dus, door de eerste afgeleide test, #f (0) # is een relatief minimum. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Het andere kritische getal in het interval is #3#. Als we de domeinbeperking negeren, vinden we dat #f '(x)> 0 # voor iedereen #X# in de buurt #3#. Dus de functie neemt toe met kleine open intervallen die bevatten #3#. Daarom, als we stoppen op #3# we hebben het hoogste punt geraakt in het domein.

Er bestaat niet universele overeenkomst of om dat te zeggen #f (3) = 10 # is een relatief maximum voor deze functie ingeschakeld #-1,3#.

Sommige hebben waarde nodig aan beide kanten om minder te zijn, vereisen anderen dat waarden in het domein aan beide zijden minder zijn.

Absoluut Extrema

De situatie voor absolute extrema op een gesloten interval # A, b # is veel eenvoudiger.

Vind kritieke aantallen in het gesloten interval. Bel de # c_1, c_2 # enzovoorts.

Bereken de waarden #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # enzovoorts. De grootste waarde is de absolute maixmum op het interval en de minste waarde is het absolute minimum op het interval.

In deze vraag berekenen we #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # en #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Het minimum is #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # en

het maximum is #f (-3) = 10 #.