Er zijn 7 kinderen in een klaslokaal. Op hoeveel manieren kunnen ze zich opstellen voor een pauze?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

Dit specifieke probleem is een permutatie. Recall, het verschil tussen permutaties en combinaties is dat, met permutaties, order belangrijk is. Gegeven dat de vraag stelt op hoeveel manieren de studenten zich kunnen opstellen voor een reces (dat wil zeggen, hoeveel verschillende orders), is dit een permutatie.

Stel je voor het moment dat we slechts twee posities vervulden, positie 1 en positie 2. Om onderscheid te maken tussen onze studenten, omdat de volgorde ertoe doet, zullen we elk een letter toewijzen van A tot G. Als we nu deze posities invullen, tegelijkertijd hebben we zeven opties om de eerste positie in te vullen: A, B, C, D, E, F en G. Maar zodra die positie is ingevuld, hebben we slechts zes opties voor de tweede, omdat een van de studenten zijn al gepositioneerd.

Veronderstel bijvoorbeeld A in positie 1. Dan zijn onze mogelijke volgordes voor onze twee posities AB (dat wil zeggen A in positie 1 en B in positie 2), AC, AD, AE, AF, AG. Maar … dit is niet verantwoordelijk voor alle mogelijke bestellingen hier, want er zijn 7 opties voor de eerste positie. Dus als B op positie 1 zou staan, zouden we als mogelijkheden BA, BC, BD, BE, BF en BG hebben. Zo vermenigvuldigen we ons aantal opties samen: #7*6 = 42#

Terugblikkend op het initiële probleem, zijn er 7 studenten die in positie 1 kunnen worden geplaatst (opnieuw, ervan uitgaande dat we de posities 1 tot en met 7 in volgorde vullen). Nadat positie 1 is gevuld, kunnen 6 studenten in positie 2 worden geplaatst. Met posities 1 en 2 gevuld, kan 5 worden geplaatst in positie 3, enzovoort, totdat slechts één student in de laatste positie kan worden geplaatst. Dus we vermenigvuldigen ons aantal opties samen #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

Voor een meer algemene formule om het aantal permutaties van te vinden # N # objecten genomen # R # tegelijkertijd zonder vervanging (d.w.z. de student op positie 1 keert niet terug naar de wachtruimte en wordt een optie voor positie 2), we hebben de neiging om de formule te gebruiken:

Aantal permutaties = # "N!" / "(N-r)!" #.

met # N # het aantal objecten, # R # het aantal te vullen posities, en #!# het symbool voor de factorial, een bewerking die werkt op een niet-negatief geheel getal #een# zoals dat #een!# = #atimes (a-1) maal (a-2) keer (a-3) keer … keer (1) #

Dus, met behulp van onze formule met het oorspronkelijke probleem, waarbij we 7 studenten 7 per keer hebben genomen (we willen bijvoorbeeld 7 posities invullen), hebben we

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

Het lijkt misschien contra-intuïtief dat #0! = 1#; dit is echter inderdaad het geval.