Wat zijn veelvoorkomende fouten die studenten maken met ellipsen in standaardvorm?

Het standaardformulier voor een ellips (zoals ik het leer) ziet er als volgt uit: # (X-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / B ^ 2 = 1 #.

(h, k) is het centrum.

de afstand "a" = hoe ver rechts / links om van het midden te gaan om de horizontale eindpunten te vinden.

de afstand "b" = hoe ver omhoog / omlaag om van het midden te gaan om de verticale eindpunten te vinden.

Ik denk dat studenten dat vaak verkeerd denken # A ^ 2 # is hoe ver weg van het midden te gaan om de eindpunten te vinden. Soms is dit een zeer grote afstand om te reizen!

Ook denk ik dat studenten soms per abuis op en neer bewegen in plaats van rechts / links bij het toepassen van deze formules op hun problemen.

Hier is een voorbeeld om over te praten:

# (X-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Het midden is (1, -4). U moet de rechter en linker "a" = 2 eenheden verplaatsen om de horizontale eindpunten op (3, -4) en (-1, -4) te krijgen. (zie afbeelding)

Je moet op en neer gaan "b" = 3 eenheden om de verticale eindpunten op (1, -1) en (1, -7) te krijgen. (zie afbeelding)

Aangezien a <b, zal de hoofdas in verticale richting zijn.

Als a> b, gaat de hoofdas in horizontale richting!

Als u meer informatie wilt over ellipsen, stel dan een andere vraag!

(Verwarring over de vraag of #een# en # B # vertegenwoordigen de hoofd / secundaire stralen, of de #X#- & # Y #-radii)

Bedenk dat de standaardvorm voor een ellips is gecentreerd op de oorsprong is

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Sommigen zullen echter al moeite hebben met de bovenstaande formule. Sommige stromingen houden dat vast #een# moet altijd groter zijn dan # B # en dus de lengte van de hoofdradius voorstellen (zelfs als de hoofdradius in de verticale richting ligt, dus rekening houdend met # Y ^ 2 / a ^ 2 # in een dergelijk geval), terwijl anderen van mening zijn dat dit altijd de #X#-radius (zelfs als de #X#-radius is de kleine straal).

Hetzelfde geldt met # B #, hoewel in omgekeerde volgorde. (dat wil zeggen sommigen geloven dat # B # moet altijd de kleine straal zijn en anderen geloven dat dit altijd de # Y #-radius).

Zorg ervoor dat u weet welke methode uw instructeur (of het programma dat u gebruikt) de voorkeur geeft. Als er geen sterke voorkeur bestaat, beslis dan eenvoudig voor jezelf, maar wees consistent met uw beslissing. Als je halverwege je opdracht van gedachten verandert, maak je dingen onduidelijk en verander je je gedachten halverwege een single probleem zal alleen maar leiden tot fouten.

(Radius / as-verwarring)

De meeste fouten in ellipsen lijken te resulteren uit deze verwarring over welke straal groot is en welke gering is. Andere mogelijke fouten kunnen optreden als men de hoofdradius verwisselt met de hoofdas (of de kleinere straal met de korte as). De hoofd- (of ondergeschikte) as is gelijk aan tweemaal de hoofd- (of ondergeschikte) straal, omdat deze in wezen de hoofd- (of ondergeschikte) diameter is. Afhankelijk van de stap waarin deze verwarring optreedt, kan dit leiden tot ernstige schaalfouten voor de ellips.

(Radius / radius gekwadrateerde verwarring)

Een soortgelijke fout treedt op wanneer studenten vergeten dat de noemers (# a ^ 2, b ^ 2 #) zijn de vierkanten van de stralen, en niet de stralen zelf. Het is niet ongebruikelijk om een student te zien met een probleem zoals # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # teken een ellips met #X#-radius 9 en # Y #-radius 4. Verder kan dit gebeuren in samenhang met de bovenstaande fout (verwisseling van de straal voor de diameter), leidend tot uitkomsten zoals een student met de bovenstaande vergelijking, die een ellips trekt met de grootste diameter 9 (en dus hoofdradius 4,5), in plaats van de juiste hoofddiameter 6 (en hoofdradius 3).

(Hyperbola en Ellipse verwarring) WAARSCHUWING: antwoord is vrij lang

Een andere relatief veel voorkomende fout doet zich voor als iemand de formule voor de ellips verkeerd onthoudt. In het bijzonder lijkt de meest voorkomende van deze fouten zich voor te doen wanneer men de formule voor ellipsen verwart met die voor hyperbolas (die, recall, is # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # of # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # voor diegenen gecentreerd op de oorsprong, opnieuw onderworpen aan de hierboven opgesomde aslabels). Hiervoor helpt het om de definitie van ellipsen en hyperbolen als kegelsneden te onthouden.

Stel met name vast dat een ellips de plaats is van punten die zijn gerelateerd aan twee foci # f_1 & f_2 # gelegen langs de hoofdas zodanig dat, voor een willekeurig punt # P # op de locus, de afstand van # P # naar # F_1 # (gelabeld # D_1 #) plus de afstand vanaf # P # naar # F_2 # (gelabeld # D_2 #) is gelijk aan tweemaal de hoofdstraal (d.w.z. #een# is de hoofdradius, # d_1 + d_2 = 2a #). Verder, de afstand van het centrum tot een van deze foci (soms genoemd half-focale scheiding of lineaire excentriciteit), ervan uitgaande dat #een# is de hoofdradius, is gelijk aan #sqrt (a ^ 2 B ^ 2) #.

Daarentegen is een hyperbool de locus van punten met betrekking tot twee foci op een zodanige manier dat, voor een punt # P # op de locus, de absolute waarde van de verschil tussen de afstand van het punt tot de eerste focus en de afstand van het punt tot de tweede focus is gelijk aan tweemaal de hoofdradius (d.w.z. #een# grote straal, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Verder, de afstand van het centrum van de hyperbool tot een van deze foci (ook wel de lineaire excentriciteit genoemd, en nog steeds aannemende #een# grote straal) is gelijk aan #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Met betrekking tot de definitie van kegelsneden, de algehele excentriciteit # E # van een sectie bepaalt of het een cirkel is (# E = 0 #), ellips (# 0 <e <1 #), parabool (# E = 1 #) of hyperbool (# e> 1 #). Voor ellipsen en hyperbolen kan de excentriciteit worden berekend als de verhouding van de lineaire excentriciteit tot de lengte van de hoofdradius; dus zal het voor een ellips zijn #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (en dus noodzakelijkerwijs minder dan 1), en voor een hyperbool zal het zijn #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (en dus noodzakelijkerwijs groter dan 1).