Waarom moet je de trigonometrische vorm van een complex getal vinden?

Afhankelijk van wat je moet doen met je complexe getallen, kan de trigonometrische vorm erg nuttig of erg netelig zijn.

Laten we bijvoorbeeld # Z_1 = 1 + i #, # Z_2 = sqrt (3) + i # en # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Laten we de twee trigonometrische vormen berekenen:

# Theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # en # Rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# Theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # en # Rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # en # Rho_3 = sqrt {1} + 3 = 2 #

Dus de trigonometrische vormen zijn:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

toevoeging

Laten we zeggen dat u wilt berekenen # Z_1 + z_2 + z_3 #. Als je de algebraïsche vorm gebruikt, krijg je dat

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Vrij gemakkelijk. Probeer het nu met de trigonometrische vorm …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

het blijkt dat de kortste manier om deze twee uitdrukkingen toe te voegen is om cosinussen en sinussen op te lossen, wat betekent … wenden tot de algebraïsche vorm!

De algebraïsche vorm is vaak de beste vorm om te kiezen bij het toevoegen van complexe getallen.

Vermenigvuldiging

Nu proberen we te berekenen # Z_1 * z_2 * z_3 #. Het gebruik van algebraïsche vormen vereist veel vervelende berekeningen. Maar het oplossen van dit product met de trigonometrische vormen is eenvoudiger:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

De ingrediënten om te bewijzen dat de tweede gelijkheid in stand houdt, zijn afkomstig van trigonometrie: de twee extra formules

#sin (alpha + beta) = sin (alpha) cos (beta) + sin (beta) cos (alpha) #

#cos (alpha + beta) = cos (alpha) cos (beta) -sin (alpha) sin (beta) #

Vermenigvuldiging van complexe getallen is zelfs schoner (maar conceptueel niet eenvoudiger) in exponentiële vorm.

In zekere zin is de goniometrische vorm een soort tussenvorm tussen de algebraïsche en de exponentiële vormen. De goniometrische vorm is de manier om tussen deze twee te schakelen. In die zin is het een soort "woordenboek" om formulieren te "vertalen".