Elke rechthoek is 6 cm lang en 3 cm breed, ze delen een gemeenschappelijke diagonaal van PQ. Hoe laat je zien dat tanalpha = 3/4?

Antwoord:

ik krijg #tan alpha = tan (pi / 2 - 2 arctan (3/6)) = 3/4 #

Uitleg:

Pret. Ik kan een paar verschillende manieren bedenken om deze te zien. Laten we voor de horizontale rechthoek linksboven S en rechtsonder R. noemen. Laten we de top van de figuur, een hoek van de andere rechthoek, T noemen.

We hebben congruente hoeken QPR en QPT.

# tan QPR = tan QPT = frac {text {opposite}} {text {adjacent}} = 3/6 = 1/2 #

De tangens-formule met dubbele hoek geeft ons #tan RPT #

#tan (2x) = frac {2 tan x} {1 - tan ^ 2 x} #

#tan RPT = frac {2 (1/2)} {1 - (1/2) ^ 2} = 4/3 #

Nu # Alpha # is de complementaire hoek van RPT (ze tellen op # 90 ^ circ #), dus

# tan alpha = cot RPT = 3/4 #

Antwoord:

Zie onder.

Uitleg:

driehoeken # DeltaABP # en # DeltaCBQ # zijn rechte hoekdriehoeken met:

# AP = CQ = 3 # en

# / _ ABP = / _ CBQ # omdat ze verticale hoeken zijn.

Daarom zijn de twee driehoeken congruent.

Dit betekent:

# PB = BQ #

Laat # AB = x # en # BQ = y # dan:

# PB = y #

We weten dat:

# X + y = 6 # cm #color (rood) (Vergelijking-1) #

In driehoek # DeltaABP #:

# Y ^ 2 = x ^ 2 + 9 # #color (rood) (Vergelijking-2) #

Laten we het oplossen # Y # van #color (rood) (Vergelijking-1) #:

# Y = 6-x #

Laten we dit aansluiten #color (rood) (Vergelijking-2) #:

# (6-x) ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x + x ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x = 9 #

# 12x = 27 #

# X = 9/4 #

# Tanalpha = (AB) / (AP) = x / 3 = (9/4) / 3 = 12/09 = 3/4 #