Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) nieuwe vraag ?

#een)#

Je moet gewoon nemen #Psi ^ "*" Psi #.

#color (blauw) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = kleur (blauw) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

De periode is te vinden met minimale inspanning, eenvoudigweg door eerst de energieën te kennen, die constanten van de beweging zijn.

De energie van # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # is # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #en de energie van # Phi_2 # is # 4E_1 #. Daarom is de frequentie # Omega_2 # van # Phi_2 # is vier keer dat van # Phi_1 # (# Omega_1 #).

Als gevolg hiervan, de periode # T_1 = (2pi) / (omega_1) # van # Phi_1 # is vier keer dat van # Phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #, en is ook een periode van # Phi_2 #.

De periode is dus #color (blauw) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#C) #

Ik laat je deze in jezelf aansluiten #t _ "*" = pi / 2 (E_2-E_1) #. U hoeft er niets mee te doen …

We weten dat #T = (2pi) / (omega_1) #, en dat # (iEt) / ℏ = iomegat #, dus

#E_n = omega_nℏ #.

Als gevolg, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

en

#color (blauw) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = kleur (blauw) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

De kans om het deeltje te vinden # 0, L / 2 # wordt gegeven als

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

De eerste twee termen zijn symmetrisch met de helft van de amplitude en opbrengst #50%# in het algemeen.

De derde term zou een stationaire toestandskans hebben van # 4 / (3pi) #, en # Cos # is een willekeurige fasefactor. Dus de algemene waarschijnlijkheid is

# = kleur (blauw) (0,50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#E) #

#color (blauw) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Er is geen triviale oplossing voor dit … Dit blijkt te zijn:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = kleur (blauw) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#f) #

Op #x = L / 2 #, de #zonde# voorwaarden ga naar #sin (pi / 2) = 1 # en naar #sin (pi) = 0 #, respectievelijk.

Sinds #sin (pi) = 0 #, het tijdafhankelijke deel van #Psi ^ "*" Psi # verdwijnt en het tijdonafhankelijke deel blijft behouden # 1 / L # als de waarschijnlijkheidsdichtheid.