Wat is de GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Antwoord:

De grootste gemene deler van #2^32-2^24+2^16-2^8+1# en #2^8+1# is #1#

Uitleg:

Let daar op:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

is een priemgetal - in feite een van de weinige bekende Fermat-priemgetallen.

Dus de enige mogelijke gemeenschappelijke factoren van #2^8+1# en #2^32-2^24+2^16-2^8+1# zijn #1# en #257#.

Zoals je echter hebt opgemerkt in de vraag:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

is van de vorm:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

De enige factor # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # van #2^40+1# komt overeen met de echte vijfde wortel van eenheid en # (X + y) # is niet automatisch een factor van het overblijvende kwart # X ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # waarvan de andere lineaire factoren allemaal niet-reëel complex zijn.

We kunnen handmatig delen # X ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # door # X + y # om een polynoom rest te krijgen en vervolgens te substitueren # X = 2 ^ 8 # en # Y = 1 # om te controleren of dit geen speciaal geval is …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Dus de rest is:

# 5y ^ 4 = 5 (kleur (blauw) (1)) ^ 4 = 5 #

Aangezien de rest niet-nul is, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# en #2^8+1# hebben geen gemeenschappelijke factor groter dan #1#.