Antwoord:
Doe veel van algebra na het toepassen van de limietdefinitie om te vinden dat de helling om # X = 3 # is #13#.
Uitleg:
De limietdefinitie van het derivaat is:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Als we deze limiet evalueren voor # 3x ^ 2-5x + 2 #, we zullen een uitdrukking krijgen voor de derivaat van deze functie. Het derivaat is eenvoudig de helling van de raaklijn op een punt; dus evalueer de afgeleide op # X = 3 # geeft ons de helling van de raaklijn aan # X = 3 #.
Met dat gezegd, laten we beginnen:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2,5 (x + h) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2HX + h ^ 2) -5x-5h + 2-3 x ^ 2 + 5x-2) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (annuleren (3x ^ 2) + 6HX + 3h ^ 2 annuleerknop (5x) -5H + zonder (2) -Annuleer (3x ^ 2) + zonder (5x) -Annuleer (2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (6HX + 3h ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (annuleren (h) (6x + 3h-5)) / uitschakelen (h) #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Evaluatie van deze limiet op # H = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Nu we de afgeleide hebben, hoeven we alleen maar in te pluggen # X = 3 # om de helling van de raaklijn daar te vinden:
#f (3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Antwoord:
Zie de uitleg hieronder als je leraar / leerboek gebruikt #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Uitleg:
Enkele presentaties van calculusgebruik, voor het bepalen van de helling van de lijn die raakt aan de grafiek van #f (x) # op het punt waar # X = a # is #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # op voorwaarde dat de limiet bestaat.
(Bijvoorbeeld de 8ste editie van James Stewart rekening p 106. Op pagina 107 geeft hij het equivalent #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
Met deze definitie, de helling van de raaklijn naar de grafiek van #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # op het punt waar # X = 3 # is
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) 2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Merk op dat deze limiet een onbepaalde vorm heeft #0/0# omdat #3# is een nul van het polynoom in de teller.
Sinds #3# is een nul, dat weten we # X-3 # is een factor. Zodat we kunnen factor, verminderen en proberen opnieuw te evalueren.
# = lim_ (xrarr3) (cancel ((x-3)) (3x + 4)) / cancel ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
De limiet is #13#, dus de helling van de raaklijn bij # X = 3 # is #13#.
