Waarom is de eenheidscirkel en de trigefuncties die erop worden gedefinieerd nuttig, zelfs als de hypotenusa van driehoeken in het probleem niet 1 zijn?

Trig-functies vertellen ons de relatie tussen hoeken en zijlengten in rechthoekige driehoeken. De reden dat ze nuttig zijn, heeft te maken met de eigenschappen van soortgelijke driehoeken.

Vergelijkbare driehoeken zijn driehoeken die dezelfde hoekmetingen hebben. Als gevolg hiervan zijn de verhoudingen tussen dezelfde zijden van twee driehoeken voor elke zijde gelijk. In de onderstaande afbeelding is die verhouding #2#.

De eenheidscirkel geeft ons relaties tussen de lengten van de zijden van verschillende rechthoekige driehoeken en hun hoeken. Al deze driehoeken hebben een hypotenusa van #1#, de straal van de eenheidscirkel. Hun sinus- en cosinuswaarden zijn de lengten van de benen van deze driehoeken.

Laten we aannemen dat we een hebben # 30 ^ o #- # 60 ^ o #- # 90 ^ o # driehoek en we weten dat de lengte van de hypotenusa is #2#. We kunnen een vinden # 30 ^ o #- # 60 ^ o #- # 90 ^ o # driehoek op de eenheidscirkel. Omdat de hypotenusa van onze nieuwe driehoek is #2#, we weten dat de verhouding van de zijden gelijk is aan de verhouding van de hypotenusa.

# r = (hypoten u se) / 1 = 2/1 = 2 #

Dus om de andere zijden van de driehoek op te lossen, hoeven we ons alleen maar te vermenigvuldigen #sin (30 ^ o) # en #cos (30 ^ o) # door # R #, dat is #2#.

# 2sin (30 ^ o) = 2 (1/2) = 1 #

# 2cos (30 ^ o) = 2 (sqrt (3) / 2) = sqrt (3) #

Je kunt een willekeurige rechterdriehoek die je kent aan minstens één kant oplossen door een vergelijkbare driehoek op de cirkel van de eenheid te vinden en vervolgens te vermenigvuldigen #sin (theta) # en #cos (theta) # door de schaalverhouding.