Stel dat er een basis was voor en een bepaald aantal dimensies voor subruimte W in RR ^ 4. Waarom is het aantal dimensies 2?

Antwoord:

4 dimensies min 2 beperkingen = 2 dimensies

Uitleg:

De derde en de vierde coördinaten zijn de enige onafhankelijke. De eerste twee kunnen worden uitgedrukt in termen van de laatste twee.

Antwoord:

De dimensie van een deelruimte wordt bepaald door zijn basis, en niet door de dimensie van een vectorruimte is het een deelruimte van.

Uitleg:

De dimensie van een vectorruimte wordt bepaald door het aantal vectoren in een basis van die ruimte (voor oneindig dimensionale ruimten wordt deze gedefinieerd door de kardinaliteit van een basis). Merk op dat deze definitie consistent is, omdat we kunnen bewijzen dat elke basis van een vectorruimte hetzelfde aantal vectoren heeft als elke andere basis.

In het geval van # RR ^ n # we weten dat #dim (RR ^ n) = n # zoals

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

is een basis voor # RR ^ n # en heeft # N # elementen.

In het geval van #W = s, t in RR # we kunnen elk element schrijven # W # zoals #vec (u) + tvec (v) # waar #vec (u) = (4,1,0,1) # en #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Hieruit hebben we dat # {vec (u), vec (v)} # is een spanning set voor # W #. Omdat #vec (u) # en #vec (v) # zijn duidelijk geen scalaire veelvouden van elkaar (let op de posities van de #0#s), dat betekent dat # {vec (u), vec (v)} # is een lineair onafhankelijke spanningset voor # W #, dat wil zeggen, een basis. Omdat # W # heeft een basis met #2# elementen, dat zeggen we #dim (W) = 2 #.

Merk op dat de dimensie van een vectorruimte niet afhankelijk is van de vraag of de vectoren ervan voorkomen in andere vectorruimten met een grotere dimensie. De enige relatie is dat als # W # is een deelruimte van # V # dan #dim (W) <= dim (V) # en #dim (W) = dim (V) <=> W = V #