De rest wanneer x ^ (2011) wordt gedeeld door x ^ 2 -3x + 2 is?

Antwoord:

# ((2 ^ 2011 - 1) x - (2 ^ 2011 - 2)) / (x ^ 2 - 3x + 2) #

Uitleg:

Een semi-gemakkelijke manier om dit te zien is om de uitdrukking te splitsen met behulp van Long Division. Schrijf het dividend (onder het deelteken) met nullen als

# x ^ 2011 + 0x ^ 2010 + 0x ^ 2009 + 0x ^ 2008 + …. 0 #

We zullen niet alle termen nodig hebben om het patroon op te merken.

Wanneer je begint te delen, zul je zien dat de eerste term een coëfficiënt van 1 heeft, de tweede een coëfficiënt van 3, de derde een coëfficiënt van 7, dan 15, dan 31, enz..

Deze nummers hebben de vorm # 2 ^ m - 1 #.

De rest verschijnt nadat je door het hele ding hebt verdeeld, bestaande uit de # 2011 ^ (th) # en # 2012 ^ (th) # voorwaarden.

De eerste term in het quotiënt zal hetzelfde patroon volgen, namelijk #2^2011-1# als zijn coëfficiënt. De laatste coëfficiënt is er één minder dan #2^2011-1# -- het is #2^2011 - 2#of #2(2^2010 - 1)#.

Hetzelfde patroon geldt voor elke indeling van de vorm

# x ^ m / (x ^ 2 - 3x + 2) #, waar #m> = 3 #.

Misschien merk je dat ook # x ^ 2011 - 1 # is een veelvoud van #x - 1 #, wat een factor in de noemer zou opheffen.

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

# x ^ 2011 = Q (x) (x-1) (x-2) + a x + b #

waar #Q (x) # is een #2009# graden polynoom en # (x-1) (x-2) = x ^ 2-3x + 2 #

Nu weten we het

# 1 ^ 2011 = a + b #

# 2 ^ 2011 = 2a + b #

Oplossen voor # A, b # we verkrijgen

#a = 2 ^ 2011-1, b = 2-2 ^ 2011 # en dan

#r (x) = (2 ^ 2011-1) x + 2-2 ^ 2011 # wat de rest is.