Hoe op te lossen 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Antwoord:

We kunnen deze vraag grafisch oplossen.

Uitleg:

De gegeven vergelijking # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # kan als volgt worden herschreven

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Neem nu deze twee als afzonderlijke functies

#f (x) = 2e ^ (x) # en #g (x) = 7-2x # en hun grafiek uitzetten; hun kruispunt zal het zijn oplossing naar de gegeven vergelijking # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Dit wordt hieronder getoond: -

Antwoord:

Deze is buiten de middelbare school algebra, en de beste manier om het op te lossen is om Wolfram Alpha te vragen wie antwoordt #x ongeveer.94 #.

Uitleg:

Oplossen

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Vragen als deze zijn over het algemeen moeilijk, en het antwoord hangt ervan af of je op de middelbare school in Algebra bent of dieper in wiskunde.

Voor de middelbare school is de beste aanpak om gewoon een paar kleine cijfers te proberen en te zien of ze werken. (Dit werkt voor veel, veel wiskundeproblemen op de middelbare school, fyi.) Er is eigenlijk maar één rationeel #X# dat maakt # E ^ x # rationeel, # X = 0 #, wat geen oplossing is. Dus gissen gaat hier niet werken.

Als een schatting goed genoeg is, kunnen we deze in een grafiek of grafiek weergeven # 2e ^ x # en # 7-2x # en zie waar ze elkaar ontmoeten.

Wat je niveau ook is, wanneer je wordt geconfronteerd met een moeilijk iemand zoals dit, is het meestal een goede zet om de beschikbare expert te vragen, wat Wolfram Alpha is.

We zien dat Alpha ons een benaderend antwoord gaf, vrij dicht bij 1, en zelfs een formule met W (x), wat het Lambert Product Log is, wat meestal geen deel uitmaakt van wiskunde op de middelbare school.

Er is geen antwoord op het gebruik van reguliere functies en activiteiten die we op de middelbare school algebra kennen. Dat is in het algemeen waar wanneer we er een term aan toevoegen #X# in een exponent naar een waar #X# verschijnt als een lineair of hoger vermogen.

Dat is het einde van het antwoord voor de meeste studenten. Maar we kunnen dieper gaan. Het productlog is een interessante functie.Beschouw de vergelijking

#k = xe ^ x #

Aan de rechterkant is een toenemende functie van #X#, dus het zal oversteken # K # vroeger of later. Het loggen haalt ons niet echt overal: #ln k = ln x + x #.

We hebben iets nodig als een log, maar niet een die het omgekeerde is # E ^ x #. Het moet het omgekeerde zijn van # Xe ^ x #. Dat wordt het Productlog of de Lambert W-functie genoemd, gedefinieerd als:

#k = xe ^ x # heeft echte oplossing #x = W (k) #.

We zullen onze aandacht beperken tot de reals. Het is leuk om te proberen te ontdekken # W '#s eigenschappen. De fundamentele die we krijgen is

#W (xe ^ x) = x #

Laten we het laten # X = ye ^ y # in het volgende zo #W (x) = y #. Nu

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Dat is cool. Wat dacht je van

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Logboeken nemen, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # ervan uitgaande dat logs zijn gedefinieerd

Nu je ziet hoe het is om met W te werken, kijk of je het kunt gebruiken om de vergelijking op te lossen, of om Alpha's oplossing te controleren

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #