Wat is lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2?

Antwoord:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

Uitleg:

Laat # y = (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

# LNY = ln ((e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2) #

# LNY = lne ^ (2x) + ln (sin (1 / x)) - lnx ^ 2 #

# LNY = 2xlne + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

# LNY = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) LNY = oo #

# E ^ LNY = e ^ oo #

# Y = oo #

Antwoord:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #. Zie de uitleg hieronder.

Uitleg:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

Let daar op: # (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #

Nu, zoals # Xrarroo #, de eerste verhouding neemt toe zonder gebonden te zijn, terwijl de tweede gaat naar #1#.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 /X)#

# = oo #

Verdere uitleg

Hier is de redenering die tot de bovenstaande oplossing heeft geleid.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 # heeft de eerste vorm # (Oo * 0) / oo #.

Dit is een onbepaalde vorm, maar we kunnen de regel van l'Hospital niet toepassen op dit formulier.

We zouden het zo kunnen herschrijven # (E ^ (2x)) / (x ^ 2 / sin (1 / x)) # om de vorm te krijgen # Oo / oo # waarop we l'Hospital kunnen toepassen. Ik wil echter niet in het bijzonder de afgeleide van die noemer nemen.

Herhaal dat #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

Zodat #lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

Dit is wat de bovenstaande herschrijving motiveert.

# (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #.

Zoals #X# stijgt zonder grenzen, # E ^ x # gaat oneindig veel sneller dat # X ^ 3 # (sneller dan welke kracht dan ook #X#).

Zo, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # blaast nog sneller op.

Als je dit feit niet beschikbaar hebt, gebruik dan de regel van l'Hospital om te krijgen

#lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 = lim_ (xrarroo) (2e ^ (2x)) / (3x ^ 2) #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = oo #

Waarom lim_ (x-> oo) (sqrt (4x ^ 2 + x-1) -sqrt (x ^ 2-7x + 3)) = lim_ (x-> oo) (3x ^ 2 + 8x-4) / ( 2x + ... + x + ...) = oo?

"Zie uitleg" "Vermenigvuldig met" 1 = (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) "Dan krijg je" lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt ( x ^ 2 - 7 x + 3)) "(omdat" (ab) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 ")" = lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 (1 + 1 / (4x) - 1 / (4x ^ 2))) + sqrt (x ^ 2 (1 - 7 / x + 3 / x ^ 2)) = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (2x sqrt (1 + 0 - 0) + x sqrt (1 - 0 + 0)) "(omdat" lim_ {x-> oo} 1 / x = 0 ")" = lim {x-> oo} (3 x ^ 2

Wat is gelijk? lim_ (x-> pi / 2) sin (cosx) / (cos ^ 2 (x / 2) -sin ^ 2 (x / 2)) =?

1 "Merk op dat:" kleur (rood) (cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = cos (2x)) "Dus hier hebben we" lim_ {x-> pi / 2} sin (cos (x )) / cos (x) "Nu van toepassing regel de l 'Hôptial:" = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) * (- sin (x)) / (- sin (x)) = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) = cos (cos (pi / 2)) = cos (0) = 1

Wat is de waarde van? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 We zoeken: L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) Zowel de teller als de 2 noemer rarr 0 als x rarr 0. dus de limiet L (als deze bestaat) is van een onbepaalde vorm 0/0, en bijgevolg kunnen we de regel van L'Hôpital toepassen om te krijgen: L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin ( t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) Nu, met behulp van de fundamentele stelling van calculus: d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) En, d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) En z