Wat is de waarde van? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Antwoord:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Uitleg:

We zoeken:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Zowel de teller als de noemer #rarr 0 # zoals #x rarr 0 #. dus de limiet # L # (als het bestaat) is van een onbepaalde vorm #0/0#, en bijgevolg kunnen we de regel van L'Hôpital toepassen om:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Nu, met behulp van de fundamentele stelling van calculus:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

En,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

En dus:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Ook dit is van een onbepaalde vorm #0/0#en bijgevolg kunnen we de regel van L'Hôpital opnieuw toepassen om:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Wat kunnen we evalueren:

# L = (0) / (2-0) = 0 #