Antwoord:
Geen oplossingen in # RR #.
Uitleg:
Laten we eerst een beetje vereenvoudigen:
Zoals # E ^ x # en #ln (x) # zijn inverse functies, # e ^ ln (x) = x # houdt zo goed als #ln (e ^ x) = x #. Dit betekent dat u uw derde logaritmische term kunt vereenvoudigen:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Je volgende doel is om alle # Log # functies op dezelfde basis, zodat u de kans krijgt om logaritmische regels op deze basis te gebruiken en te vereenvoudigen.
U kunt de logaritmebasis als volgt wijzigen:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Laten we deze regel gebruiken om de basis te veranderen #8# van # Log_8 # en de basis #32# van # Log_32 # naar de basis #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Nu kunnen we berekenen # log_2 (8) = 3 # en # log_2 (32) = 5 #
(voor het geval het niet duidelijk is, laat me het afbreken voor de zekerheid: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
Dit leidt ons naar de volgende, eenvoudigere, logaritmische vergelijking:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… vermenigvuldig beide kanten met #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Nu zijn we klaar om de logaritmische regels te gebruiken:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # en #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
Het doel is om er maar een te hebben # Log # termijn aan de linkerkant. Laten we het doen.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
Op dit punt kunnen we de # Log_2 (a) # door de inverse functie toe te passen # 2 ^ a # aan beide kanten van de vergelijking.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Helaas moet ik toegeven dat ik op dit moment vast zit, omdat ik niet weet hoe ik deze vergelijking moet oplossen.
Echter, plotten #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # vertelt me dat deze vergelijking geen oplossingen heeft in # RR #.
grafiek {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9.63, 10.37, -4.88, 5.12}
Ik hoop dat dit een klein beetje heeft geholpen!
