Wat zijn de oplossingen voor (z-1) ^ 3 = 8i?

Antwoord:

#z in {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Uitleg:

Voor dit probleem moeten we weten hoe we het kunnen vinden # N ^ "th" # wortels van een complex getal. Om dit te doen, zullen we de identiteit gebruiken

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Vanwege deze identiteit kunnen we elk complex getal als vertegenwoordigen

# a + bi = Re ^ (itheta) # waar #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # en #theta = arctan (b / a) #

Nu gaan we over de stappen om de te vinden # 3 ^ "rd" # wortels van een complex getal # A + bi #. De stappen voor het vinden van de # N ^ "th" # wortels zijn vergelijkbaar.

Gegeven # a + bi = Re ^ (itheta) # we zijn op zoek naar alle complexe getallen # Z # zoals dat

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Zoals # Z # is een complex getal, er zijn er # R_0 # en # Theta_0 # zoals dat

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Dan

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Hieruit hebben we onmiddellijk # R_0 = R ^ (1/3) #. We kunnen ook de exponenten van gelijkstellen # E #, maar merk op dat sinus en cosinus periodiek zijn met periode # 2pi #, dan van de originele identiteit, # E ^ (itheta) # zal ook zo zijn. Dan hebben we

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # waar #k in ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # waar #k in ZZ #

Echter, alsof we blijven toevoegen # 2pi # keer op keer zullen we eindigen met dezelfde waarden, we kunnen de overbodige waarden negeren door de beperking toe te voegen # theta_0 in 0, 2pi) #, dat is, #k in {0, 1, 2} #

Alles bij elkaar krijgen we de oplossing

#z in {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theta + 4pi) / 3)} #

We kunnen dit terug converteren naar # A + bi # vorm indien gewenst met behulp van de identiteit

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Het bovenstaande toepassen op het probleem:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Met behulp van het bovenstaande proces kunnen we de # 3 ^ "rd" # wortels van #ik#:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) in {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

Toepassen # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # wij hebben

# i ^ (1/3) in {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Ten slotte vervangen we in deze waarden voor #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z in {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #