Hoe vind je het gebied begrensd door de curven y = -4sin (x) en y = sin (2x) over het gesloten interval van 0 tot pi?

Antwoord:

schatten

# Int_0 ^ π | -4sin (x) sin (2x) | dx #

Gebied is: #8#

Uitleg:

Het gebied tussen twee doorlopende functies #f (x) # en #G (x) # over- #x in a, b # is:

# Int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Daarom moeten we vinden wanneer #f (x)> g (x) #

Laat de bochten de functies zijn:

#f (x) = - 4sin (x) #

#G (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Wetende dat #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Delen door #2# wat positief is:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Delen door # Sinx # zonder het teken om te keren, sindsdien #sinx> 0 # voor iedere #x in (0, π) #

# -2> cos (x) #

Dat is onmogelijk, omdat:

# -1 <cos (x) <= 1 #

Dus de eerste verklaring kan niet waar zijn. daarom #f (x) <= g (x) # voor iedere #x in 0, π #

De integraal wordt berekend:

# Int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# Int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# Int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# Int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# Int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1/2 cos (2x) _ ^ 0 π-4 cos (x) _ ^ π 0 #

# -1/2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#