Laat P (x_1, y_1) een punt zijn en laat ik de regel zijn met vergelijking ax + by + c = 0.Toon de afstand d uit P-> l wordt gegeven door: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Vind de afstand d van het punt P (6,7) van de lijn l met vergelijking 3x + 4y = 11?

Antwoord:

#d = 7 #

Uitleg:

Laat # l-> a x + b y + c = 0 # en # p_1 = (x_1, y_1) # een punt niet op # L #.

Stel je dat voor #b ne 0 # en bellen # D ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 # na vervanging #y = - (a x + c) / b # in D ^ # 2 # wij hebben

# d ^ 2 = (x - x_1) ^ 2 + ((c + a x) / b + y_1) ^ 2 #. De volgende stap is het vinden van de D ^ # 2 # minimum betreffende #X# dus we zullen vinden #X# zoals dat

# d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + a x) / b + y_1)) / b = 0 #. Dit gebeurt voor

#x = (b ^ 2 x_1 - a b y_1-a c) / (a ^ 2 + b ^ 2) # Nu, vervang deze waarde in D ^ # 2 # we verkrijgen

# d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) # zo

#d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

Nu gegeven

# L-> 3x + 4y-11 = 0 # en # P_1 = (6,7) # dan

#d = (-11 + 3xx6 + 4xx7) / sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 7 #