Wat is de vierkantswortel van 82?

Antwoord:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~~ 9.0554 #

Uitleg:

#x_ "n + 1" = 1/2 (x_ "n" + S / x_ "n") -> sqrtS # voor #n -> oo #

S is het nummer waarvan u de sqaure-root benadert. In dit geval # S = 82 #

Hier is wat dit betekent en hoe het wordt gebruikt:

Eerst raden, wat zou de wortel van 82 kunnen zijn?

de vierkantswortel van 81 is 9, dus moet deze iets hoger zijn dan 9, toch?

Onze gok zal zijn #x_ "0" #, laten we zeggen 9.2, #x_ "0" = 9.2 #

9.2 invoegen als "x" in de formule zal ons geven #x_ "0 + 1" = x_ "1" #

Dit zal het volgende getal zijn dat we in de vergelijking opnemen. Dit komt omdat we begonnen met een schatting van 9.2 = #x_ "0" #, dit gaf ons een nummer #x_ "1" #, het invoegen van dit nummer zal ons geven #x_ "2" #, wat ons zal geven #x_ "3" # en zo verder geven we altijd het volgende nummer wanneer we de vorige invoegen. De rechterkant van de vergelijking aangegeven met "#->#"betekent dat wanneer" n "groter en groter wordt, het aantal ook steeds dichter bij de vierkantswortel van S komt, in dit geval 82.

Laten we zeggen dat we 100 keer dezelfde berekening hebben gedaan! Dan zouden we hebben #x_ "100" #. Dit aantal zou heel dicht bij de vierkantswortel van S. liggen

Genoeg gepraat, laten we wat echte berekeningen doen!

We beginnen met onze gok #x_ "0" = 9,2 #

#x_ "1" = 1/2 (9.2 + 82 / 9.2) ~~ 9.05652 #

Doe nu hetzelfde met het nieuwe nummer: #x_ "2" = 1/2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~~ 9.05549 #

Laten we het nog één keer doen: #x_ "3" = 1/2 (9.05549 + 82 / 9.05546) ~~ 9.0554 #

Dat betekent # Sqrt82 ~~ 9,0554 #

En daar heb je het!

Sorry als al mijn praten irritant was. Ik probeerde het diepgaand en op een eenvoudige manier uit te leggen, wat altijd leuk is als je niet zo bekend bent met een bepaald vakgebied in de wiskunde. Ik snap niet waarom sommige mensen zo chic moeten zijn bij het uitleggen van wiskunde:)

Antwoord:

#sqrt (82) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) ~~ 9.0553851381374 #

Uitleg:

De belangrijkste factorisatie van #82# is:

#82 = 2*41#

Omdat er geen vierkante factoren zijn, #sqrt (82) # kan niet worden vereenvoudigd. Het is een irrationeel getal dat iets groter is dan #9#.

Merk echter op dat #82=81+1 = 9^2+1#.

Omdat dit van de vorm is # N ^ 2 + 1 #, de vierkantswortel heeft een zeer regelmatige vorm als een voortgezette breuk:

#sqrt (82) = 9; balk (18) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) #

Algemener:

#sqrt (n ^ 2 + 1) = n; balk (2n) = n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + …)))) #

Meer in het algemeen nog steeds:

#sqrt (n ^ 2 + m) = n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + …)))) #

In elk geval kunnen we de voortgezette breuk gebruiken om rationele benaderingen te krijgen #sqrt (82) # door trunceren.

Bijvoorbeeld:

#sqrt (82) ~~ 9; 18 = 9 + 1/18 = 163/18 = 9.0bar (5) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18 = 9 + 1 / (18 + 1/18) = 2943/325 = 9.05bar (538461) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1/18)) = 53137/5868 ~~ 9.05538513974 #

Een rekenmachine vertelt me dat:

#sqrt (82) ~~ 9.0553851381374 #

U kunt dus zien dat onze benaderingen nauwkeurig zijn tot net zoveel significante cijfers als het totale aantal cijfers in het quotiënt.