Vraag # 53a2b + Voorbeeld

Antwoord:

Deze definitie van afstand is invariant onder verandering van traagheidsframe en heeft daarom een fysieke betekenis.

Uitleg:

De Minkowski-ruimte is geconstrueerd als een 4-dimensionale ruimte met parametercoördinaten # (X_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, waar we meestal zeggen # X_0 = ct #. In de kern van de speciale relativiteitstheorie hebben we de Lorentz-transformaties, die transformaties zijn van het ene traagheidsframe naar het andere dat de invalsnelheid van het licht onveranderd laat. Ik zal niet ingaan op de volledige afleiding van de transformaties van Lorentz, als je wilt dat ik het uitleg, vraag het dan gewoon en ik zal in meer detail treden.

Wat belangrijk is, is het volgende. Wanneer we naar Euclidische ruimte kijken (de ruimte waarin we de gewone definitie van lengte hebben die we gewend zijn # Ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 ^ 2 + dx_3 #), we hebben bepaalde transformaties; ruimtelijke rotaties, vertalingen en spiegelingen. Als we de afstand berekenen tussen twee punten in verschillende referentiekaders verbonden door deze transformaties, vinden we dat de afstand hetzelfde is. Dit betekent dat de Euclidische afstand invariant is onder deze transformaties.

Nu breiden we dit idee uit naar 4-dimensionale ruimtetijd. Vóór Einsteins theorie van speciale relativiteit, verbonden we traagheidsframes door Galilei transformaties, die zojuist een ruimtelijke coördinaat hebben vervangen # X_i # door # X_i-v_it # voor #iin {1,2,3} # waar # V_i # is de snelheid van de waarnemer in de #ik# richting ten opzichte van het originele frame. Deze transformatie liet de snelheid van het licht niet onveranderlijk, maar liet wel de afstand achter die door het lijnelement werd veroorzaakt # Ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 ^ 2 + dx_3 #, simpelweg omdat er geen verandering is in de tijdcoördinaat, dus tijd is absoluut.

De Galilei-transformatie beschrijft echter niet nauwkeurig de transformatie van het ene trage frame naar het andere, omdat we weten dat de snelheid van het licht invariant is onder een juiste coördinaattransformatie. Daarom hebben we de Lorentz-transformatie geïntroduceerd. De Euclidische afstand uitgebreid tot 4-dim ruimtetijd zoals hierboven gedaan is niet onveranderlijk onder deze Lorentz transformatie, echter, de afstand veroorzaakt door # Ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 ^ 2 + dx_3 # is, die we de juiste afstand noemen. Dus ook al is deze Euclidische afstand waar de stelling van Pythagoras is, een volkomen fatsoenlijke wiskundige structuur op de 4 dimbare ruimte, het heeft geen fysieke betekenis, omdat het afhankelijk is van de waarnemer.

De juiste afstand is niet afhankelijk van de waarnemer, daarom kunnen we het een fysieke betekenis geven, dit wordt gedaan door de omvang van een wereldlijn door Minkowski-ruimte te verbinden met behulp van deze afstand tot de voorbijgaande tijd waargenomen door een voorwerp dat langs deze wereldlijn reist. Merk op dat als we de tijd verlaten, de stelling van Pythagoras nog steeds geldt in de ruimtelijke coördinaten.

EDIT / EXTRA TOELICHTING:

De oorspronkelijke vragensteller van deze vraag vroeg me iets meer uit te werken, hij schreef: "Bedankt. Maar, kunt u alstublieft de laatste twee paragrafen een beetje meer uitleggen. In een boek dat ik zag hadden ze # B ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 #. Leg uit: "In wezen is wat we hier hebben een tweedimensionale versie van wat ik hierboven heb beschreven.We hebben een beschrijving van ruimtetijd met één tijd en één ruimtedimensie. Hierin definiëren we een afstand, of beter gezegd een norm (een afstand van de oorsprong tot een punt) # S # met behulp van de formule # B ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # waar #X# is de ruimtelijke coördinaat en # T # de temporele coördinaat.

Wat ik hierboven deed was een driedimensionale versie hiervan, maar wat nog belangrijker was, gebruikte ik # (Ds) ^ 2 # in plaats van # S ^ 2 # (Ik heb haakjes toegevoegd om te verduidelijken wat er in het kwadraat is). Zonder teveel in differentiële geometrie in te gaan, als we een lijn hebben die twee punten in de ruimte verbindt, # Ds # is de lengte van een klein stukje van de lijn, een zogenaamd lijnelement. Via een 2D-versie van wat ik hierboven heb geschreven, hebben we # Ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 ^ 2 + dx_1 #, die de lengte van dit kleine stuk relateert aan de kleine verandering in de coördinaten. Om de afstand van de oorsprong tot een punt te berekenen # X_0 = a, x_1 = b # in ruimtetijd berekenen we de lengte van een rechte lijn vanaf de oorsprong tot dat punt, deze lijn wordt gegeven # X_0 = a / bx_1 # waar # X_1in 0, b #, we noteren dat # Dx_0 = a / bdx_1 #, dus # Ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) ^ 2 dx_1 #, dus # Ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, die we kunnen integreren, geven # ^ S = int_0 bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 bsqrt = (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

daarom # B ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # in # (T, x) # coördineert.

Dus inderdaad, wat ik hierboven heb geschreven geeft wat je in het boek leest. Met de versie van het regelelement kunt u echter de lengte van een regel berekenen, niet alleen rechte lijnen. Het verhaal over de Lorentz-transformatie geldt nog steeds, deze norm # S # is invariant onder verandering van referentiekader, terwijl # X ^ 2 + (ct) ^ 2 # is niet.

Het feit dat de stelling van Pythagoras niet klopt, is niet zo verrassend. De stelling van Pythagoras geldt in de Euclidische meetkunde. Dit betekent dat de ruimte waarin u werkt plat is. Een voorbeeld van ruimtes die niet vlak zijn, is het oppervlak van een bol. Wanneer je de afstand tussen twee punten op dit oppervlak wilt vinden, neem je de lengte van het kortste pad over dit oppervlak dat deze twee punten met elkaar verbindt. Als je een rechthoekige driehoek zou construeren op dit oppervlak, dat er heel anders zou uitzien dan een driehoek in de Euclidische ruimte, omdat de lijnen niet recht zouden zijn, heeft de stelling van Pythagoras in het algemeen geen betekenis.

Een ander belangrijk kenmerk van de Euclidische geometrie is dat wanneer u een coördinatensysteem op deze ruimte plaatst, elke coördinaat dezelfde rol vervult. Je zou de assen kunnen draaien en eindigen met dezelfde geometrie. In de Minkowski-geometrie hierboven hebben niet alle coördinaten dezelfde rol, omdat de tijdassen een minteken hebben in de vergelijkingen en de andere niet. Als dit minteken er niet was, zouden tijd en ruimte een vergelijkbare rol spelen in ruimtetijd, of op zijn minst in de geometrie. Maar we weten dat ruimte en tijd niet hetzelfde zijn.