Bewijs het: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

Bewijzen

# Tg ^ 5x = ((1 / (1-SiNx) ^ 2) - (1 / (1 + SiNx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+ cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-SiNx) ^ 2) - (1 / (1 + SiNx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + SiNx) ^ 2- (1-SiNx) ^ 2) / (1-sin ^ 2 x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2 x) ^ 2) #

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) #

# = Sin ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS #

bewezen

Dit is een van die bewijzen die gemakkelijker van rechts naar links kunnen worden gebruikt. Beginnen met:

# ((1 / (1-SiNx) ^ 2) - (1 / (1 + SiNx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

Vermenigvuldig teller en noemer van de ingesloten fracties door de "conjugaten" (bijv. # 1pmsinx # op # 1 sinx #). Je snapt dat, bijvoorbeeld # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2x #.

# = (((+ Sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx))) - ((1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx)))) / (((1 + cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1-cosx))) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1 + cosx))) #

Herhaal de vorige stap om de noemer in de ingesloten breuken verder te vereenvoudigen:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2))) / (((1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2 x) ^ 2)) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2 x) ^ 2)) #

Gebruik de identiteiten # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x en # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # te krijgen:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x))) / (((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) - ((1-cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) #

Combineer breuken en draai om de reciprocals te vermenigvuldigen:

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / (((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) / (sin ^ 4x)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) #

Vouw de vierkante termen uit:

# = (annuleer (1) + 2sinx + cancel (sin ^ 2x) - (cancel (1) -2sinx + cancel (sin ^ 2x))) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (cancel (1) + + zonder 2cosx (cos ^ 2x) - (annuleren (1) -2cosx + zonder (cos ^ 2x))) #

# = (cancel (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (cancel (4) cosx) #

# = kleur (blauw) (tan ^ 5x) #