Los de volgende vergelijking op: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Antwoord:

# X = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Deze uitleg geeft een nogal diepgaande methode voor het bepalen van de stappen voor het vinden van mogelijke factoren waarmee een kwadratische vergelijking kan worden herschreven zodat deze oplosbaar is zonder de kwadratische vergelijking en / of een rekenmachine.

Uitleg:

Plaats eerst de term aan de linkerkant van de vergelijking.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 25/02 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Vouw de vierkante binomiaal uit. Herhaal dat # (X ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

We kunnen de breuken opruimen door de vergelijking te vermenigvuldigen met de kleinste gemene deler van #3,25,# en #9,# welke is #225#.

Let daar op #225=3^2*5^2#, dus #225/3=75#, #225/25=9#, en #225/9=25#.

Doorlopend vermenigvuldigen met #225# geeft:

# 75 (x ^ 2-2) 9 (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

Verdeel elke vermenigvuldigingsconstante.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Verplaats alle termen naar één kant en rangschik de vergelijking opnieuw.

# 9x 4-118x ^ ^ 2 + 209 = 0 #

Dit heeft het potentieel om factoratief te zijn: het ontbreken van # X ^ 3 # en #X# voorwaarden betekent dat dit mogelijk in de vorm kan worden verwerkt # (X ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

Om te testen op factoren, merk op dat we een paar gehele getallen moeten vinden waarvan het product het product is van de eerste en laatste coëfficiënten, wat # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. Dezelfde gehele getallen waarvan het product is #3^2*11*19# zou een som moeten hebben #-118#.

Omdat het product positief is en de som negatief is, weten we dat zowel de gehele getallen positief zijn.

De truc is nu om een combinatie van cijfers te vinden die afkomstig is van #3^2*11*19# waarvan de som is #118#. (Als we de positieve versie vinden, kunnen we beide getallen eenvoudig in hun negatieve vorm veranderen.)

We zouden moeten proberen om groepen van de factoren te vinden #3^2*11*19# die niet overschrijden #118#.

We kunnen preventief de mogelijkheid van elimineren #3^2*19# en #11*19# optreden als een van onze twee gehele getallen, omdat beide groter zijn dan #118#. Dus als we ons concentreren op #19# omdat dit de grootste factor is, weten we dat deze ook alleen zal bestaan #19# of #3*19#.

Onze enige twee opties voor de gehele getallen zijn dus:

# {:(bb "Integer 1", "", bb "Integer 2", "", bb "Sum"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118), (19 * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90):} #

Vandaar ons paar nummers waarvan het product is #3^2*11*19# en de som is #118# is #19# en #99#.

Hieruit kunnen we het kwartiel schrijven als:

# 9x 4-118x ^ ^ 2 + 209 = 9x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Factor per groep:

# 9x 2 ^ (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (2-11 x ^) = 0 #

Splits dit in twee vergelijkingen:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

Antwoord:

Vergelijkingen met breuken zien er altijd erger uit dan ze zijn. Zolang je een vergelijking hebt en geen uitdrukking, kun je van de noemers af door zich te vermenigvuldigen met de LCM van noemers.

Uitleg:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Laten we beginnen met het kwadrateren van de noemer in de tweede term.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Vermenigvuldig nu elke term met 225 om de noemers te annuleren.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / cancel3 + cancel (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / cancel25 = cancel (225) ^ 25xx7 / cancel9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

Dit is duidelijk een kwadratische, dus zorg dat het gelijk is aan 0.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

Merk op dat de eerste en derde voorwaarden op termen lijken, dus we kunnen ze samen toevoegen. Vier ook de middelste termijn.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Verwijder de haakjes door de distributieve wet:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

Makkelijker maken: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

Het onderzoeken van de factoren van 9 en 209 leidt tot

9 = 3x3 of 9x1 en 209 = 11 x 19

De combinatie van factoren die bijdraagt tot 118 is 99 + 19

Factorisering geeft # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2- 19) = 0 #

Als # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Als # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #