Zoek het gebied van de gearceerde regio?

Antwoord:

Zie onder.

Uitleg:

Wanneer we eerst gebieden leren kennen door integratie, nemen we representatieve rechthoeken verticaal.

De rechthoeken hebben basis # Dx # (een kleine verandering in #X#) en hoogten gelijk aan de grotere # Y # (die op de bovenste curve) minus de mindere # Y # waarde (die op de onderste curve). We integreren dan van de kleinste #X# waarde voor het beste #X# waarde.

Voor dit nieuwe probleem zouden we twee van dergelijke intergrals kunnen gebruiken (zie het antwoord van Jim S), maar het is erg waardevol om te leren ons denken te veranderen #90^@#.

We nemen representatieve rechthoeken horiontally.

De rechthoeken hebben hoogte # Dy # (een kleine verandering in # Y #) en basen gelijk aan de grootste #X# (die op de meest rechtse curve) minus de mindere #X# waarde (die op de meest linkse curve). We integreren dan van de kleinste # Y # waarde voor het beste # Y # waarde.

Let op de dualiteit

# {:("verticaal", iff, "horizontaal"), (dx, iff, dy), ("upper", iff, "rightmost"), ("lower", iff, "leftmost"), (x, iff, y):} #

De zin "van de kleinste #X# waarde voor het beste #X# waarde. "geeft aan dat we van links naar rechts integreren. (In de richting van toenemend #X# waarden.)

De zin "van de kleinste # Y # waarde voor het beste # Y # waarde. "geeft aan dat we van onder naar boven integreren (in de richting van toenemend # Y # waarden.)

Hier is een foto van de regio met een kleine rechthoek aangegeven:

Het gebied is

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Antwoord:

Gebied van het gearceerde gebied is # 1 m ^ 2 #

Uitleg:

# X = 1/2 y ^ #

# Y ^ 2 = 1 / x #

# Y = sqrtx / x # (we kunnen zien aan de hand van de grafiek)

# Sqrtx / x = x # #<=># # X ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# X ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # X = 1 # (we kunnen ook zien op de grafiek)

Een van de vele manieren waarop het gebied van het gearceerde gebied kan worden uitgedrukt, zou kunnen zijn als het gebied van de driehoek # AhatOB = Ω # exclusief het cyaangebied dat ik zal bellen #color (cyaan) (Ω_3) #

Laat #Ω_1# wordt het zwarte gebied weergegeven in de grafiek en #color (groen) (Ω_2) # het groene gebied weergegeven in de grafiek.

Het gebied van de kleine driehoek # ChatAD = # #color (groen) (Ω_2) # zal zijn:

• #color (groen) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# Sqrtx / x = 2 # #<=># # Sqrtx = 2x # #<=># # X = 4x ^ 2 #

#<=># # X = 1/4 #

Het gebied van #Ω_1# zal zijn:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Als gevolg hiervan zal het gearceerde gebied zijn

• #Ω_1## + Kleur (groen) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1 m ^ 2 #