Hoe vind je het antiderivaat van dx / (cos (x) - 1)?

Antwoord:

Doe wat geconjugeerde vermenigvuldiging, pas wat trig toe en eindig om een resultaat te krijgen # Int1 / (cosx-1) dx = cscx cotx + + C #

Uitleg:

Zoals met de meeste problemen van dit type, zullen we het oplossen met behulp van een geconjugeerde vermenigvuldigingstruc. Wanneer je iets hebt gedeeld door iets plus / minus iets (zoals in # 1 / (cosx-1) #), is het altijd handig om vermenigvuldiging met conjugaten te gebruiken, vooral met trig-functies.

We beginnen met vermenigvuldigen # 1 / (cosx-1) # door de geconjugeerde van # Cosx-1 #, dat is # Cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Je vraagt je misschien af waarom we dit doen. Het is zo dat we het verschil in vierkanteneigenschap kunnen toepassen, # (A-b) (a + b) = a ^ 2 B ^ 2 #, in de noemer, om het een beetje te vereenvoudigen. Terug naar het probleem:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (Underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#color (wit) (III) acolor (wit) (XXX) bcolor (wit) (XXX) acolor (wit) (XXX) b #

Merk op hoe dit in essentie is # (A-b) (a + b) #.

# = (Cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Nu, hoe zit het? # Cos ^ 2x-1 #? Nou, we weten het # ^ Sin 2x = 1-cos ^ 2x #. Laten we dat vermenigvuldigen met #-1# en zie wat we krijgen:

# -1 (sin ^ = 2x 1-cos ^ 2x) -> - ^ sin 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = Cos ^ 2-1 #

Het blijkt dat # ^ Sin 2x = cos ^ 2x-1 #, laten we vervangen # Cos ^ 2x-1 #:

# (Cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

Dit komt overeen met # Cosx / sin ^ 2x + 1 / sin ^ 2x #, wat, met behulp van een trig, neerkomt op # -Cotxcscx-CSC ^ 2x #.

Op dit punt zijn we vereenvoudigd tot integraal # Int1 / (cosx-1) dx # naar # Int-cotxcscx-CSC ^ 2xdx #. Met behulp van de somregel wordt dit:

# Int-cotxcscxdx + int-CSC ^ 2xdx #

De eerste hiervan is # Cscx # (omdat de afgeleide van # Cscx # is # -Cotxcscx #) en de tweede is # Cotx # (omdat de afgeleide van # Cotx # is # -Csc ^ 2x #). Voeg de constante van integratie toe # C # en je hebt je oplossing:

# Int1 / (cosx-1) dx = cscx cotx + + C #

De lengte van een lacrosse veld is 15 yards minder dan tweemaal de breedte, en de omtrek is 330 yards. Het verdedigingsgebied van het veld is 3/20 van het totale veldgebied. Hoe vind je het verdedigingsgebied van het Lacrosse-veld?

Het verdedigingsgebied is 945 vierkante meter. Om dit probleem op te lossen, moet je eerst het gebied van het veld (een rechthoek) vinden dat kan worden uitgedrukt als A = L * W Om de lengte en breedte te krijgen, moeten we de formule gebruiken voor de omtrek van een rechthoek: P = 2L + 2W. We kennen de perimeter en we kennen de relatie tussen de lengte en de breedte, zodat we de in de formule gebruikte randen kunnen vervangen door de omtrek van een rechthoek: 330 = (2 * W) + (2 * (2W - 15) en vervolgens oplossen voor W: 330 = 2W + 4W - 30 360 = 6W W = 60 We weten ook: L = 2W - 15 dus vervangen geeft: L = 2 * 60 - 15 of L

De som van de cijfers van een driecijferig nummer is 15. Het cijfer van het apparaat is minder dan de som van de andere cijfers. De tientallen cijfers zijn het gemiddelde van de andere cijfers. Hoe vind je het nummer?

A = 3 ";" b = 5 ";" c = 7 Gegeven: a + b + c = 15 ................... (1) c <b + a ............................... (2) b = (a + c) / 2 ...... ........................ (3) '~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ Overwegen vergelijking (3) -> 2b = (a + c) Schrijf vergelijking (1) als (a + c) + b = 15 Door te substitueren wordt dit 2b + b = 15 kleuren (blauw) (=> b = 5) '~~~~~~~~~~~~~~ Nu hebben we: a + 5 + c = 15. .................. (1_a) c <5 + a ........................ ...... (2_a) 5 = (a + c) / 2 .............................. (3_a ) '~~~~~~~~~~~~~~~~

Hoe vind je het antiderivaat van cos ^ 4 (x) dx?

Je wilt het opsplitsen met trig-identiteiten om mooie, gemakkelijke integralen te krijgen. cos ^ 4 (x) = cos ^ 2 (x) * cos ^ 2 (x) We kunnen de cos ^ 2 (x) gemakkelijk genoeg verwerken door de cosinus-formule met de dubbele hoek te herschikken. cos ^ 4 (x) = 1/2 (1 + cos (2x)) * 1/2 (1 + cos (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + 1/2 (1 + cos (4x))) cos ^ 4 (x) = 3/8 + 1/2 * cos (2x) + 1/8 * cos (4x) Dus, int cos ^ 4 (x) dx = 3/8 * int dx + 1/2 * int cos (2x) dx + 1/8 * int cos (4x ) dx int cos ^ 4 (x) dx = 3 / 8x + 1/4 * sin (2x) + 1/32 * sin (4x) + C