Als f (x) = x tan ^ -1 dan is f (1) wat?

Antwoord:

# f (1) # waar #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Uitleg:

Ik neem aan dat de vraag is #f (1) # waar #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Normaal zou ik de # Arctan # als meerwaardig. Maar hier met de expliciete functie notatie #f (x) # Ik zal zeggen dat we de hoofdwaarde van de inverse tangens willen. De hoek met tangens 1 in het eerste kwadrant is # 45 ^ circ # of # Pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Dat is het einde. Maar laten we de vraag terzijde schuiven en ons concentreren op wat #arctan t # echt betekent.

Ik denk meestal aan #tan ^ -1 (t) # of equivalent (en ik denk betere notatie) #arctan (t) # als een meerwaardige expressie. De "functie" arctan is niet echt een functie, omdat het de inverse is van iets periodiek, dat niet echt een inverse kan hebben over zijn gehele domein.

Dit is echt verwarrend voor studenten en docenten. Plots hebben we dingen die op functies lijken die eigenlijk geen functies zijn. Ze zijn een beetje onder de radar geraakt. Voor de omgang met deze regels zijn nieuwe regels nodig, maar deze worden nooit expliciet vermeld. Wiskunde begint wazig te worden wanneer dat niet het geval is.

# x = arctan t # wordt het best beschouwd als de oplossingen voor #tan x = t. # Er is een oneindig aantal van hen, één per periode. Tangent heeft periode van #pi# dus de oplossingen zijn #pi# uit elkaar, dat is waar de #pi k # komt van, integer # K #.

Meestal schrijf ik de belangrijkste waarde van de inverse tangens als Arctan, met een hoofdletter A. Helaas blijft Socratic het "corrigeren". Ik zal het hier fudge:

#t = tan x # heeft oplossingen

#x = arctan t = tekst {Arc} tekst {tan} (t) + pi k quad # voor integer # K #.