Wat is het kleinste gehele getal dat wanneer gedeeld door 3, 5, 7 en 11 resten achterlaat van respectievelijk 2, 4, 6 en 1?

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

Dit probleem is opgelost als een toepassing van de zogenaamde Chinese Restant Stelling (CRM)

Gegeven

# {(x equiv r_1 mod m_1), (x equiv r_2 mod m_2), (cdots "" cdots "" cdots), (x equiv r_n mod m_n):} #

en bellen #m = m_1m_2 cdots m_n # met

#M_k = m / m_k EE t_k | t_k M_k equiv 1 mod m_k #

nu aan het bellen #s_k = t_k M_k # wij hebben

#x = sum_ (k = 1) ^ n s_k r_k #

In ons voorbeeld

# r_1 = 2, r_2 = 4, r_3 = 6, r_4 = 1 #

# m_1 = 3, m_2 = 5, m_3 = 7, m_4 = 11 #

dan

# t_1 = 1, t_2 = 1, t_3 = 2, t_4 = 2 # en

#x = 3884 # is een oplossing.

NOTITIE

Met deze methode kunnen we een oplossing vinden en uiteindelijk de kleinste. In dit geval #419# is de kleinste oplossing.

Het getal van een afgelopen jaar is gedeeld door 2 en het resultaat is ondersteboven gekeerd en gedeeld door 3, dan is het met de rechterkant naar boven gelaten en gedeeld door 2. Vervolgens zijn de cijfers in het resultaat omgekeerd om 13 te maken. Wat is het afgelopen jaar?

Color (red) (1962) Hier zijn de beschreven stappen: {: ("jaar", kleur (wit) ("xxx"), rarr ["result" 0]), (["result" 0] div 2 ,, rarr ["result" 1]), (["result" 1] "ondersteboven gekeerd" ,, rarr ["result" 2]), (["result" 2] "gedeeld door" 3,, rarr ["result "3]), ((" links naar rechts boven ") ,, (" geen verandering ")), ([" resultaat "3] div 2,, rarr [" result "4]), ([" result " 4] "digits reversed" ,, rarr ["result" 5] = 13):} Working backward: c

Het eenheidscijfer van het tweecijferige gehele getal is 3 meer dan het tientallencijfer. De verhouding van het product van de cijfers tot het gehele getal is 1/2. Hoe vind je dit gehele getal?

36 Stel dat het aantal tientallen t is. Dan is het cijfer van de eenheid t + 3 Het product van de cijfers is t (t + 3) = t ^ 2 + 3t Het gehele getal zelf is 10t + (t + 3) = 11t + 3 Uit wat ons wordt verteld: t ^ 2 + 3t = 1/2 (11t + 3) So: 2t ^ 2 + 6t = 11t + 3 So: 0 = 2t ^ 2-5t-3 = (t-3) (2t + 1) Dat is: t = 3 " "of" "t = -1/2 Omdat t een positief geheel getal van minder dan 10 is, heeft t = 3 de enige geldige oplossing. Dan is het gehele getal zelf: 36

Wanneer een polynoom wordt gedeeld door (x + 2), is de rest -19. Wanneer hetzelfde polynoom wordt gedeeld door (x-1), is de rest 2, hoe bepaal je de rest wanneer het polynoom wordt gedeeld door (x + 2) (x-1)?

We weten dat f (1) = 2 en f (-2) = - 19 van de Restantstelling. Vind nu de rest van polynoom f (x) wanneer gedeeld door (x-1) (x + 2). De rest zal zijn van de vorm Ax + B, omdat het de rest is na deling door een kwadratische vorm. We kunnen nu de deler vermenigvuldigen maal het quotiënt Q ... f (x) = Q (x-1) (x + 2) + Ax + B Volgende, voeg 1 in en -2 voor x ... f (1) = Q (1-1) (1 + 2) + A (1) + B = A + B = 2 f (-2) = Q (-2-1) (- 2 + 2) + A (-2) + B = -2A + B = -19 Oplossen van deze twee vergelijkingen, we krijgen A = 7 en B = -5 Rest = Ax + B = 7x-5