Wat is f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx if f (pi / 6) = 1?

Antwoord:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Uitleg:

We beginnen met het splitsen van de integraal in drie:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Ik zal de linker integrale Integral 1 en de rechter Integral 2 noemen

Integraal 1

Hier hebben we integratie door delen en een klein trucje nodig. De formule voor integratie door delen is:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

In dit geval zal ik het laten #f (x) = x ^ e # en #G '(x) = cos (x) #. Dat snappen we

#f '(x) = x ^ e # en #G (x) = sin (x) #.

Dit maakt onze integraal:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Nu kunnen we integratie door delen opnieuw toepassen, maar deze keer met #G '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Nu kunnen we de integraal aan beide kanten toevoegen, en wel:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Integraal 2

We kunnen eerst de identiteit gebruiken:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

Dit geeft:

#int tan ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

Nu kunnen we de pythagorische identiteit gebruiken:

# Sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

Nu kunnen we een u-vervanging introduceren met # U = cos (x) #. We delen dan door de afgeleide, # Sin (x) # integreren met betrekking tot # U #:

# -int (cancel (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (cancel (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

De oorspronkelijke integraal voltooien

Nu we Integral 1 en Integral 2 kennen, kunnen we ze weer aansluiten op de oorspronkelijke integraal en vereenvoudigen om het laatste antwoord te krijgen:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 sec ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Nu we de antiderivative kennen, kunnen we de constante oplossen:

#f (pi / 6) = 1 #

# E ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2 sec ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) + C = 1 #

# -2/3-wortel (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Dit geeft aan dat onze functie is:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #