Laat p een prime zijn. Laat zien dat S = {m + nsqrt (-p) m, n in ZZ} is een subring van CC..Verder, controleer of S een ideaal van CC is of niet?

Laat p een prime zijn. Laat zien dat S = {m + nsqrt (-p) m, n in ZZ} is een subring van CC..Verder, controleer of S een ideaal van CC is of niet?
Anonim

Antwoord:

# S # is een subring maar geen ideaal.

Uitleg:

Gegeven:

#S = m + nsqrt (-p) #

  • # S # bevat de additieve identiteit:

    # 0 + 0sqrt (-p) = 0color (wit) (((1/1), (1/1))) #

  • # S # is gesloten onder toevoeging:

    # (m_1 + n_1 sqrt (-p)) + (m_2 + n_2 sqrt (-p)) = (m_1 + m_2) + (n_1 + n_2) sqrt (-p) kleur (wit) (((1/1) (1/1))) #

  • # S # is gesloten onder additief omgekeerd:

    # (m_1 + n_1 sqrt (-p)) + (-m_1 + -n_1 sqrt (-p)) = 0color (wit) (((1/1), (1/1))) #

  • # S # is gesloten onder vermenigvuldiging:

    # (m_1 + n_1 sqrt (-p)) (m_2 + n_2 sqrt (-p)) = (m_1m_2-pn_1n_2) + (m_1n_2 + m_2n_1) sqrt (-p) kleur (wit) (((1/1), (1/1))) #

Zo # S # is een subring van # CC #.

Het is geen ideaal, omdat het niet de eigenschap van absorptie bezit.

Bijvoorbeeld:

#sqrt (3) (1 + 0sqrt (-p)) = sqrt (3)! in S #