Cirkel A heeft een middelpunt op (6, 5) en een gebied van 6 pi. Cirkel B heeft een middelpunt op (12, 7) en een gebied van 48 pi. Overlopen de cirkels elkaar?

Antwoord:

Sinds

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # en

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

we kunnen een echte driehoek maken met vierkante zijden 48, 6 en 40, dus deze cirkels kruisen elkaar.

Uitleg:

Waarom de gratuite #pi#?

Het gebied is #A = pi r ^ 2 # zo # R ^ 2 = A / pi. # Dus de eerste cirkel heeft een straal # R_1 = sqrt {6} # en de tweede # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

De centra zijn #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # deel.

Dus de cirkels overlappen als #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

Dat is zo lelijk dat je zou worden vergeven voor het bereiken van de rekenmachine. Maar het is echt niet nodig. Laten we een omweg maken en kijken hoe dit gebeurt met Rationele trigonometrie. Daar zijn we alleen maar bezig met de gekwadrateerde lengtes, genaamd quadrances.

Laten we zeggen dat we willen testen of drie kwadransen #ABC# zijn de kwadransen tussen drie collineaire punten, d.w.z. #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # of #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # of #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. We zullen het als schrijven

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Kwadratuur, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Squaring opnieuw, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Het blijkt

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

is een discriminant voor driehoeken. We hebben net laten zien of #mathcal {A} = 0 # dat betekent dat we een hebben gedegenereerde driehoek, gevormd uit drie collineaire punten. Als #mathcal {A}> 0 # dan hebben we een echte driehoek, elke kant minder dan de som van de andere twee. Als #mathcal {A} <0 # we hebben geen zijden die voldoen aan de driehoeksongelijkheid, en we noemen dit soms een denkbeeldige driehoek.

Laten we teruggaan naar onze vraag gewapend met onze nieuwe discriminerende driehoek #mathcal {A} #. Als de cirkels elkaar kruisen, kunnen we een driehoek maken van de twee middelpunten en een kruising, zodat de zijden een lengte hebben # R_1 #, # R_2 #en de afstand tussen de centra #(6,5)# en #(12,7)#. Wij hebben

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # dus we hebben een echte driehoek, d.w.z. overlappende cirkels.

Oh ja, voor elke driehoek #mathcal {A} = 16 (tekst {area}) ^ 2. #

Controle: Alpha

Cirkel A heeft een middelpunt op (12, 9) en een gebied van 25 pi. Cirkel B heeft een middelpunt op (3, 1) en een gebied van 64 pi. Overlopen de cirkels elkaar?

Ja Eerst moeten we de afstand tussen de middelpunten van de twee cirkels vinden. Dit is omdat deze afstand de plaats is waar de cirkels het dichtst bij elkaar liggen, dus als ze elkaar overlappen, is dit langs deze lijn. Om deze afstand te vinden, kunnen we de afstandsformule gebruiken: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) d = sqrt ((12-3) ^ 2 + (9-1) ^ 2 ) = sqrt (81 + 64) = sqrt (145) ~~ 12.04 Nu moeten we de straal van elke cirkel vinden. We weten dat het gebied van een cirkel pir ^ 2 is, dus we kunnen dat gebruiken om op te lossen voor r. pi (r_1) ^ 2 = 25pi (r_1) ^ 2 = 25 r_1 = 5 pi (r_2) ^ 2 = 64pi (r_2) ^ 2 = 64

Cirkel A heeft een middelpunt op (3, 5) en een gebied van 78 pi. Cirkel B heeft een middelpunt op (1, 2) en een gebied van 54 pi. Overlopen de cirkels elkaar?

Ja Eerst hebben we de afstand tussen de twee centra nodig, wat D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) is = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 Nu hebben we de som van radii nodig, want: D> (r_1 + r_2); "Cirkels overlappen elkaar niet" D = (r_1 + r_2); "Cirkels raken gewoon" D <(r_1 + r_2); "Cirkels overlappen elkaar" pir_1 "" ^ 2 = 78pi r_1 "" ^ 2 = 78 r_1 = sqrt78 pir_2 "" ^ 2 = 54pi r_2 "" ^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16.2 16.2> 3.61, dus cirkels overlappen elkaar. Bewijs: grafiek

Cirkel A heeft een middelpunt op (5, 8) en een gebied van 18 pi. Cirkel B heeft een middelpunt op (3, 1) en een gebied van 27 pi. Overlopen de cirkels elkaar?

De cirkels overlappen de afstand van midden tot centrum d = sqrt ((x_a-x_b) ^ 2 + (y_a-y_b) ^ 2) d = sqrt ((5-3) ^ 2 + (8-1) ^ 2) d = sqrt (4 + 49) d = sqrt53 = 7.28011 De som van de radii van cirkel A en B Som = sqrt18 + sqrt27 Som = 9.43879 Som van radii> afstand tussen centra conclusie: de cirkels overlappen God zegene .... Ik hoop de uitleg is nuttig.