Cirkel A heeft een middelpunt op (3, 5) en een gebied van 78 pi. Cirkel B heeft een middelpunt op (1, 2) en een gebied van 54 pi. Overlopen de cirkels elkaar?

Antwoord:

Ja

Uitleg:

Ten eerste hebben we de afstand tussen de twee centra nodig, namelijk # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 #

Nu hebben we de som van radii nodig, omdat:

#D> (r_1 + r_2); "Cirkels overlappen elkaar niet" #

# D = (r_1 + r_2); "Kringen raken gewoon" #

#D <(r_1 + r_2); "Cirkels overlappen elkaar" #

# Pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# R_1 "" ^ 2 = 78 #

# R_1 = sqrt78 #

# Pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# R_2 "" ^ 2 = 54 #

# R_2 = sqrt54 #

# Sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#, dus overlappen cirkels elkaar.

Bewijs:

grafiek {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20.33, 19.67, -7.36, 12.64}

Antwoord:

Deze overlappen als #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}. #

We kunnen de calculator overslaan en controleren # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # of #4(13)(54) > 11^2# wat het zeker is, dus ja, overlappen.

Uitleg:

Cirkelgebied is natuurlijk #pi r ^ 2 # dus verdelen we de gratuite #pi#s.

We hebben vierkante stralen

# r_1 ^ 2 = 78 #

# R_2 ^ 2 = 54 #

en vierkante afstand tussen de centra

# D ^ = 2 (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Kort gezegd willen we weten of # r_1 + r_2 ge d #, d.w.z. als we een driehoek kunnen maken uit twee stralen en het segment tussen de middelpunten.

De vierkante lengtes zijn allemaal mooie gehele getallen en het is behoorlijk krankzinnig dat we allemaal instinctief naar de rekenmachine of computer reiken en beginnen met het maken van wortels.

Dat hoeven we niet, maar het vereist een kleine omweg. Laten we de formule van Heron gebruiken, het gebied bellen # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # waar # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((+ b + c) / 2) -a) (((+ b + c) / 2) -b) (((a + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Dat is al beter dan Heron. Maar we gaan door. Ik zal wat verveling overslaan.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Dat is mooi symmetrisch, zoals we zouden verwachten voor een gebiedsformule. Laten we het er minder symmetrisch uit laten zien. Terugroepen

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

Het toevoegen, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Dat is een formule voor het vierkante gebied van een driehoek, gezien de vierkante zijden. Wanneer de laatsten rationeel zijn, geldt dat ook voor de eerste.

Laten we het uitproberen. We zijn vrij om de zijden toe te wijzen, zoals we willen; voor handberekening is het het beste om te maken # C # de grootste kant, # c ^ 2 = 78 #

# A ^ 2 = 54 #

# B ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Nog voordat we het nog meer berekenen, kunnen we zien dat we positief zijn # 16q ^ 2 # dus een echte driehoek met een positief gebied, dus overlappende cirkels.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Als we een negatieve waarde hadden gekregen, een denkbeeldig gebied, dat is geen echte driehoek, dus niet-overlappende cirkels.