Los de volgende vergelijking op in natuurlijke getallen: x² + y² = 1997 (x-y)?

Antwoord:

# (x, y) = (170, 145) # of # (x, y) = (1817, 145) #

Uitleg:

Het volgende bewijs is gebaseerd op dat in het boek "An Introduction to Diophantine Equations: A Problem-Based Approach" van Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu.

Gegeven:

# X ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

Laat #a = (x + y) # en #b = (1997-x + y) #

Dan:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = X ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (xy) + xy) #

# = X ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Daarom vinden we:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Sinds #1997# is priem, #een# en # B # hebben geen gemeenschappelijke factor groter dan #1#.

Vandaar dat er positieve gehele getallen bestaan #m, n # met #m> n # en geen gemeenschappelijke factor groter dan #1# zoals dat:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} kleur (wit) (XX) "of" kleur (wit) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

Kijken naar # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # in mod #3# en mod #5# rekenkundig, we vinden:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) Vandaar #m - = + -1 # en #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) Vandaar #m - = + -1 # en #n - = + -1 # (mod #5#)

Dat betekent dat de enige mogelijkheden voor #m, n # modulo #15# zijn #1, 4, 11, 14#.

Merk bovendien op dat:

# m ^ 2 in (1997/2, 1997) #

Vandaar:

#m in (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #

Dus de enige mogelijkheden voor # M # zijn #34, 41, 44#

We vinden:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# geen perfect vierkant.

#1997 - 44^2 = 61# geen perfect vierkant.

Zo # (m, n) = (34, 29) #

Zo:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#kleur wit)()#

Als # (a, b) = (1972, 315) # dan:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

en daarom:

# (x, y) = (1817, 145) #

#kleur wit)()#

Als # (a, b) = (315, 1972) # dan:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

en daarom:

# (x, y) = (170, 145) #