Evalueer de onbepaalde integraal: sqrt (10x-x ^ 2) dx?

Antwoord:

# 20/3 x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Uitleg:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Maak het vierkant af, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Plaatsvervanger # U = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Plaatsvervanger # U = 5sin (v) # en # Du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Makkelijker maken, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Verfijnen, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Haal de constante eruit, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Pas dubbele hoekformules toe, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Haal de constante eruit, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Integreren, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Vervanging terug # V = arcsin (u / 5) # en # U = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + zonder (1 / 2sin) (annuleren (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ c #

Makkelijker maken, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Verfijnen, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, waar # C # is de constante van integratie.

Tadaa: D

Antwoord:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Uitleg:

Wat is #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Merk op dat het domein van de functie die wordt geïntegreerd, is waar het binnenste kwadratische positief is, d.w.z. #x in 0, 10 #

Deze uitdrukking kan worden geïntegreerd met behulp van substituties. Hoewel een mogelijk pad voor integratie zich niet onmiddellijk voordoet, als we het vierkant beconcurreren, kan een trigonometrische substitutie worden uitgevoerd:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Wat, merken we, is in de klassieke trigonometrische substitutievorm, d.w.z. het kwadraat van een aantal minus het kwadraat van een lijn #X# functie.

Ten eerste, om ons te ontdoen van de lineaire, we laten #u = x-5 #, wat geeft # Du = dx #, dus we kunnen de bovenstaande integraal herschrijven als:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Nu, voor de tweede vervanging, laat #u = 5sintheta #, wat de integraal verandert in:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (we kunnen de absolute waarde haakjes negeren)

Natuurlijk, de # Dx # helpt niet, dus we differentiëren de substitutievergelijking om: #du = 5costheta d theta #, dus de integraal wordt:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Nu kunnen we een dubbele hoekformule gebruiken om integratie te maken # cos ^ 2 theta # makkelijker:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Dus de integraal wordt:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (met behulp van een dubbele hoekformule)

Nu, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Vandaar, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

En, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #