Wat is de betekenis van een onbepaalde vorm? En indien mogelijk een lijst van alle onbepaalde formulieren?

Wat is de betekenis van een onbepaalde vorm? En indien mogelijk een lijst van alle onbepaalde formulieren?
Anonim

Allereerst zijn er geen onbepaalde aantallen.

Er zijn cijfers en er zijn beschrijvingen die klinken alsof ze een getal zouden kunnen beschrijven, maar dat doen ze niet.

"Het nummer #X# dat maakt # X + 3 = x-5 #"is zo'n beschrijving. Zoals het is" Het nummer #0/0#.'

Het is het beste om te voorkomen (en te denken) dat "#0/0# is een onbepaald aantal ".

In de context van limieten:

Bij het evalueren van een limiet van een functie "gebouwd" door een of andere algebraïsche combinatie van functies, gebruiken we de eigenschappen van limieten.

Hier zijn enkele van de. Let op de voorwaarde die aan het begin is opgegeven.

Als #lim_ (xrarra) f (x) # bestaat en #lim_ (xrarra) g (x) # bestaat, dan

#lim_ (xrarra) (f (x) + g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) (f (x) -g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) - lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) (f (x) g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) f (x) / g (x) = (lim_ (xrarra) f (x)) / (lim_ (xrarra) g (x)) # op voorwaarde dat #lim_ (xrarra) g (x)! = 0 #

Merk ook op dat we de notatie gebruiken: #lim_ (xrarra) f (x) = oo # om aan te geven dat de limiet NIET BESTAAT, maar we verklaren de reden (als #xrarra, #f (x) stijgt zonder grenzen)

Als een (of beide) van de limieten #lim_ (xrarra) f (x) # en #lim_ (xrarra) g (x) # niet bestaat, dan kan de vorm die we krijgen van de limieteigenschappen onbepaald zijn. Hoewel het niet noodzakelijk onbepaald is.

Voorbeeld 1:

#f (x) = 2x + 3 #, en #g (x) = x ^ 2 + x #, en # A = 2 #

#lim_ (xrarr2) f (x) = 7 # en #lim_ (xrarr2) g (x) = 6 #.

De waarde van de limiet:

#lim_ (xrarr2) (f (x) + g (x)) # wordt bepaald door de vorm van de som:

#lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) = 7 + 6 #

Voorbeeld 2:

#f (x) = x + 3 + 1 / x ^ 2 #, en #g (x) = x ^ 2 + 7 + 1 / x ^ 2 #, en # A = 0 #

#lim_ (xrarr0) f (x) = oo # en #lim_ (xrarr0) g (x) = oo #.

Ondanks het feit dat er geen limiet bestaat, de kwestie van de limiet:

#lim_ (xrarr0) (f (x) + g (x)) # wordt bepaald door de vorm van de som:

#lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) = oo + oo = oo #

De notatie ziet eruit alsof we iets zeggen dat we niet zeggen. We zeggen niet dat oneindigheid een getal is dat we aan zichzelf kunnen toevoegen om oneindig te worden.

Wat we zeggen is:

de limiet als #X# benaderingen #0# van de som van deze twee functies bestaat niet, omdat als #x rarr 0 #, beide #f (x) # en #G (x) # toenemen zonder gebonden te zijn, daarom neemt de som van deze functies ook zonder gebonden toe.

Voorbeeld 3: Overweeg voor dezelfde opzet als in voorbeeld 2 de limiet van het verschil in plaats van de som:

Als #f (x) # en #G (x) # neemt toe zonder gebonden als #x rarr 0 #, we kunnen concluderen dat de som ook toeneemt zonder gebonden. Maar we kunnen geen conclusie trekken over het verschil.

#lim_ (xrarr0) (f (x) -g (x)) # wordt NIET bepaald door de vorm van het verschil:

#lim_ (xrarra) f (x) - lim_ (xrarra) g (x) = oo - oo = "?" #

Voor # F-g # we uiteindelijk krijgen # - 4#, maar voor #g - f # we krijgen #+4#

Onbepaalde vormen van limieten zijn onder meer:

#0/0#, # Oo / oo #, # Oo-oo #, # 0 * oo #, #0^0#, #oo ^ 0 #, # 1 ^ oo #

(De laatste verraste me tot ik het in mijn geheugen kreeg

#lim_ (xrarroo) (1 + 1 / x) ^ x = lim_ (xrarr0) (1 + x) ^ (1 / x) = e #)

Het formulier # L / 0 # met #L! = 0 # is misschien "semi-bepaald". We weten dat de limiet niet bestaat en dat hij faalt vanwege een aantal toenemende OF afnemende zonder gebonden gedrag, maar we kunnen niet zeggen welke.