Bewijs dat de functie niet lim in x_0 = 0 is? + Voorbeeld

Antwoord:

Zie uitleg.

Uitleg:

Volgens de definitie van Heine van een functielimiet hebben we:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Dus om te laten zien dat een functie heeft NEE limiet op # X_0 # we moeten twee reeksen vinden # {X_n} # en # {Bar (x) _n} # zoals dat

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) _n = x_0 #

en

#lim_ {n -> + oo} f (x_n) = lim_ {n -> + oo}! f (bar (x) _n) #

In het gegeven voorbeeld kunnen dergelijke reeksen zijn:

# X_n = 1 / (2 ^ n) # en #bar (x) _n = 1 / (n ^ 3) #

Beide sequenties komen samen # X_0 = 0 #, maar volgens de formule van de functie hebben we:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

omdat alle elementen in # X_n # zijn in #1,1/2,1/4,…#

en voor #bar (x) _n # wij hebben:

#f (bar (x) _1) = f (1) = 2 #

maar voor iedereen #n> = 2 # wij hebben: #f (bar (x) _n) = 1 #

Dus voor #n -> + oo # wij hebben:

#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)

Beide reeksen bedekken zich naar # X_0 = 0 #, maar de limieten (*) en (**) zijn NIET gelijk, dus de limiet #lim_ {x-> 0} f (x) # bestaat niet.

QED

De limietdefinitie is te vinden op Wikipedia op:

Antwoord:

Hier is een bewijs dat de ontkenning van de definitie van het bestaan van een limiet gebruikt.

Uitleg:

Verkorte versie

#f (x) # kan geen enkel nummer benaderen # L # omdat in elke buurt van #0#, de functie # F # neemt waarden aan die van elkaar verschillen door #1#.

Dus ongeacht wat iemand voorstelt # L #, er zijn punten #X# in de buurt #0#, waar #f (x) # is ten minste #1/2# eenheid verwijderd van # L #

Lange versie

#lim_ (xrarr0) f (x) # bestaat als en alleen als

er is een nummer, # L # zo voor iedereen #epsilon> 0 #, er is een #delta> 0 # zodanig dat voor iedereen #X#, # 0 <abs (x) <delta # impliceert #abs (f (x) -L) <epsilon #

De ontkenning hiervan is:

#lim_ (xrarr0) f (x) # faalt te bestaan als en alleen als

voor elk nummer, # L # er is een #epsilon> 0 #, zodanig dat voor iedereen #delta> 0 # er is een #X#, zoals dat # 0 <abs (x) <delta # en #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Gegeven een nummer # L #, Ik zal laten #epsilon = 1/2 # (elke kleinere # Epsilon # zal ook werken)

Nu een positief gegeven #delta#, Ik moet laten zien dat er een is #X# met # 0 <absx <delta # en #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (herhaal dat #epsilon = 1/2 #)

Gegeven een positief #delta#, uiteindelijk # 1/2 ^ n <delta # dus er is een # X_1 # met #f (x_1) = 2 #.

Er is ook een element # x_2 in RR- {1, 1/2, 1/4,… } # met # 0 <x_2 <delta # en #f (x_2) = 1 #

Als #L <= (1/2) #, dan #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Als #L> = (1/2) #, dan #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #