Oplossen (x + 3) / (x + 2) + (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5)?

Antwoord:

De oplossing van:

# (x + 3) / (x + 2) kleur (rood) (-) (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5) #

is #x = -7 / 2 #

Uitleg:

Stel dat de vraag zou moeten zijn:

# (x + 3) / (x + 2) kleur (rood) (-) (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5) #

Door gemene delers aan de linker- en rechterzijde te maken, wordt dit:

# ((x + 3) (x + 3) - (x + 2) (x + 4)) / ((x + 2) (x + 3)) = ((x + 5) (x + 5) - (x + 4) (x + 6)) / ((x + 4) (x + 5)) #

Door de teller te vermenigvuldigen, krijgen we:

# ((x ^ 2 + 6x + 9) - (x ^ 2 + 6x + 8)) / ((x + 2) (x + 3)) = ((x ^ 2 + 10x + 25) - (x ^ 2 + 10 x + 24)) / ((x + 4) (x + 5)) #

De meeste termen in de teller annuleren, om ons het volgende te geven:

# 1 / ((x + 2) (x + 3)) = 1 / ((x + 4) (x + 5)) #

Door het omgekeerde van beide kanten te nemen, wordt dit:

# (x + 2) (x + 3) = (x + 4) (x + 5) #

die zich vermenigvuldigt als:

# x ^ 2 + 5x + 6 = x ^ 2 + 9x + 20 #

aftrekken # X ^ 2 + 5x + 20 # van beide kanten wordt dit:

# -14 = 4x #

Beide kanten verdelen #2# en transponering, we krijgen:

#x = -7 / 2 #

Antwoord:

In de gegeven vorm komt dit overeen met een typische quartic met geschatte wortels:

# x_1 ~~ -9.4400 #

# x_2 ~~ -0.28158 #

# x_3 ~~ -2.6392 + 4.5893i #

# x_4 ~~ -2.6392-4.5893i #

Uitleg:

Ervan uitgaande dat de vraag klopt zoals gegeven …

Gegeven:

# (x + 3) / (x + 2) + (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5) #

Trek de rechterkant van links af om het volgende te krijgen:

# (x + 3) / (x + 2) + (x + 4) / (x + 3) - (x + 5) / (x + 4) + (x + 6) / (x + 5) = 0 #

Beide zijden transponeren en vermenigvuldigen met # (X + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) # dit wordt:

# 0 = (x + 3) ^ 2 (x + 4) (x + 5) + (x + 2) (x + 4) ^ 2 (x + 5) - (x + 2) (x + 3) (x + 5) ^ 2 + (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 6) #

#color (white) (0) = (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 83x ^ 2 + 201x + 180) + (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 82x ^ 2 + 192x + 160) - (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 81x ^ 2 + 185 + 150) + (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 80x ^ 2 + + 180x 144) #

#color (wit) (0) = 2x ^ 4 + 30x ^ 3 + 164x ^ 2 + 573x + 149 #

Dit is een typische quartic, met twee echte irrationele nullen en twee niet-reële complexe nullen.

Het is mogelijk maar erg rommelig om algebraïsch op te lossen. Met behulp van een numerieke methode zoals Durand-Kerner vinden we globale oplossingen:

# x_1 ~~ -9.4400 #

# x_2 ~~ -0.28158 #

# x_3 ~~ -2.6392 + 4.5893i #

# x_4 ~~ -2.6392-4.5893i #

Zie http://socratic.org/s/aKtpkf7J voor meer details.