Overweeg de kwadratische vergelijking # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, wat aan de linkerkant ook een perfect vierkant trinominaal is. Factoring om op te lossen:
# => (x + 2) (x + 2) = 0 #
# => x = -2 en -2 #
Twee identieke oplossingen! Bedenk dat de oplossingen van een kwadratische vergelijking de x-aftakkingen zijn op de overeenkomstige kwadratische functie.
Dus de oplossingen voor de vergelijking # x ^ 2 + 5x + 6 = 0 #zijn bijvoorbeeld de x-aftakkingen in de grafiek van #y = x ^ 2 + 5x + 6 #.
Evenzo, de oplossingen voor de vergelijking # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 # zullen de x onderschept zijn in de grafiek van #y = x ^ 2 + 4x + 4 #.
Omdat er eigenlijk maar één oplossing voor is # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, de top van de functie #y = x ^ 2 + 4x + 4 # ligt op de x-as.
Denk nu eens aan de discriminant van een kwadratische vergelijking. Als je geen eerdere ervaring hebt, maak je geen zorgen.
We gebruiken de discriminant, # b ^ 2 - 4ac #, om te controleren hoeveel oplossingen, en het type oplossing, een kwadratische vergelijking van het formulier # ax ^ 2 + bx + c = 0 # kan hebben zonder de vergelijking op te lossen.
Wanneer de discriminant gelijk is aan minder dan #0#, de vergelijking zal hebben geen oplossing. Wanneer de discriminant exact gelijk is aan nul, zal de vergelijking exact zijn een oplossing. Wanneer de discriminant gelijk is aan een getal dat groter is dan nul, zal er precies zijn twee oplossingen. Als het getal in kwestie dat u daardoor krijgt een perfect vierkant is in het laatste geval, heeft de vergelijking twee rationele oplossingen. Zo niet, dan zal het twee irrationele oplossingen hebben.
Ik heb al aangetoond dat als je een perfecte driecijferige trinominale hebt, je twee identieke oplossingen zult hebben, die gelijk is aan één oplossing. Vandaar dat we de discriminant kunnen instellen #0# en oplossen voor # C #.
Waar #a = 1, b = 14 en c =? #:
# b ^ 2 - 4ac = 0 #
# 14 ^ 2 - 4 xx 1 xx c = 0 #
# 196 - 4c = 0 #
# 4c = 196 #
#c = 49 #
Dus, het perfecte vierkant trinominaal met #a = 1 en b = 14 # is # x ^ 2 + 14x + 49 #. We kunnen dit verifiëren door factoring.
# x ^ 2 + 14x + 49 = (x + 7) (x + 7) = (x + 7) ^ 2 #
Oefeningen:
- Gebruik de discriminant om de waarden van te bepalen #a, b of c # dat maakt de trinomialen perfecte vierkanten.
een) # ax ^ 2 - 12x + 4 #
b) # 25x ^ 2 + bx + 64 #
c) # 49x ^ 2 + 14x + c #
Hopelijk helpt dit, en veel geluk!
