Wis Wiskundig de wortels van kleur (wit) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Antwoord:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # voor #n = 0, 1, 2 #

Uitleg:

Gegeven:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Goniometrische substitutie

Sinds deze kubieke heeft #3# echte nullen, Cardano's methode resulteert in uitdrukkingen met onherleidbare kubuswortels van complexe getallen. Cardano's methode is niet verkeerd, maar het is niet erg vriendelijk, tenzij de kubuswortels een eenvoudige vorm hebben.

Als alternatief in dergelijke gevallen zou ik ervoor kiezen om een trigonometrische substitutie te gebruiken.

Laat:

#x = k cos theta #

De kunst is om te kiezen # K # zodanig dat de resulterende expressie bevat # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Wij hebben:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (white) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (white) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (white) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # met # K = 2 #

#color (wit) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Zo:

#cos 3 theta = 1/2 #

Zo:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # voor een geheel getal # N #

Zo:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # voor een geheel getal # N #

Dit zal geven #3# verschillende mogelijke waarden van #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # voor #n = 0, 1, 2 #.