Alsjeblieft, iemand helpt om het probleem op te lossen?

Antwoord:

Probeer de verandering # x = tan u #

Zie hieronder

Uitleg:

We weten dat # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

Door de voorgestelde wijziging hebben we

# dx = sec ^ 2u du #. Laat vervanging in de integraal

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = Sinu + C #

Dus, de wijziging ongedaan maken:

# U = arctanx # en eindelijk hebben we

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Antwoord:

#color (blauw) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Uitleg:

Laten we proberen Trigonometric Substitution te gebruiken voor het oplossen van deze integraal. Om dit te doen, zullen we een rechthoekige driehoek construeren # Delta ABC # en label de zijkanten op zo'n manier dat we met behulp van Pythagoras 'formule de expressies die we momenteel zien in het argument van de integraal als volgt kunnen afleiden:

Hoek # / _ B = theta # heeft de andere kant #X# en aangrenzende zijde #1#. De formule van Pythagoras gebruiken:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # resulteert in:

# (BC) ^ 2 = 1 + 2 ^ x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # zoals getoond.

Laten we nu de drie meest elementaire trigonometrische functies voor schrijven # Theta #:

# Sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Tantheta = x / 1 x = #

Nu moeten we deze vergelijkingen gebruiken om verschillende delen van het integrale argument op te lossen in trigonometrische termen. Laten we gebruiken # Tantheta #:

# Tantheta = x #

Laten we van beide kanten afgeleide producten maken:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Van de # Costheta # vergelijking, kunnen we oplossen #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Als we beide kanten van deze vergelijking verhogen tot de macht van #3# we krijgen:

# ^ Sec 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Nu kunnen we vervangen wat we hebben berekend in de probleemintegraal om er een trigonometrische integraal van te maken:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetad theta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelleur (rood) (sec ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (rood) (sec ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Nu kunnen we er voor terugvervangen # Sintheta # en verander ons antwoord in een algebraïsche uitdrukking in termen van #X#:

#color (blauw) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #