Welke van de volgende heeft het maximale aantal echte wortels?

Antwoord:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # met #4# echte wortels.

Uitleg:

Merk op dat de wortels van:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

zijn een deelverzameling van de unie van de wortels van de twee vergelijkingen:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):} #

Merk op dat als een van deze twee vergelijkingen een paar echte wortels heeft, hetzelfde geldt voor de andere, omdat ze dezelfde discriminant hebben:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Merk verder op dat als #a, b, c # ze hebben allemaal hetzelfde teken # ax ^ 2 + b abs (x) + c # zal altijd waarden van dat teken nemen wanneer #X# is echt. Dus in onze voorbeelden, sinds # A = 1 #, we kunnen meteen opmerken dat:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

dus heeft geen nullen.

Laten we de andere drie vergelijkingen beurtelings bekijken:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x in {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => x in {-2, 1}):} #

Als we elk van deze proberen, vinden we oplossingen #x in {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x in {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => x in {-1, -2}):} #

Als we elk van deze proberen, vinden we allemaal oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking, d.w.z. #x in {-2, -1, 1, 2} #

Alternatieve methode

Merk op dat echte wortels van # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (waar #c! = 0 #) zijn positieve echte wortels van # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Dus om te vinden welke van de gegeven vergelijkingen de meest echte wortels heeft, is gelijk aan het vinden van welke van de overeenkomstige gewone kwadratische vergelijkingen de meeste positieve echte wortels heeft.

Een kwadratische vergelijking met twee positieve echte wortels heeft tekens in het patroon #+ - +# of #- + -#. In ons voorbeeld is het eerste teken altijd positief.

Van de gegeven voorbeelden hebben alleen de tweede en derde coëfficiënten in het patroon #+ - +#.

We kunnen de tweede vergelijking verdisconteren # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # omdat de discriminant negatief is, maar voor de derde vergelijking vinden we:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

heeft twee positieve echte wortels, meegaand #4# wortels van de vergelijking # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #