Wat is de extrema van f (x) = 3x-1 / sinx op [pi / 2, (3pi) / 4]?

Antwoord:

Het absolute minimum op het domein vindt plaats op ongeveer. # (pi / 2, 3.7124) #en de absolute max op het domein vindt plaats bij ongeveer. # (3pi / 4, 5.6544) #. Er zijn geen lokale extrema.

Uitleg:

Voordat we beginnen, betaamt het ons om te analyseren en te zien of #sin x # neemt een waarde van aan #0# op elk punt van het interval. #sin x # is nul voor alle x dusdanig #x = npi #. # Pi / 2 # en # 3pi / 4 # zijn beide minder dan #pi# en groter dan # 0pi = 0 #; dus, #sin x # neemt hier geen waarde van nul aan.

Om dit te bepalen, herinner je eraan dat een extreme situatie zich ook voordoet waar #f '(x) = 0 # (kritieke punten) of op een van de eindpunten. In dit licht nemen we de afgeleide van de bovenstaande f (x) en zoeken we punten waarbij deze afgeleide gelijk is aan 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Hoe moeten we deze laatste term oplossen?

Overweeg kort de wederkerige regel, die is ontwikkeld om situaties zoals onze laatste term hier te behandelen, # d / (dx) (1 / sin x) #. De wederkerige regel stelt ons in staat om direct gebruik te maken van de ketting- of quotiëntregel door dat gegeven een differentieerbare functie te geven #G (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

wanneer #g (x)! = 0 #

Terugkerend naar onze belangrijkste vergelijking, gingen we verder met;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Sinds #sin (x) # is differentieerbaar, we kunnen de wederkerige regel hier toepassen:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Als we dit gelijk aan 0 instellen, komen we aan bij:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Dit kan alleen gebeuren wanneer #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. Vanaf hier kan het betamen dat we specifiek een van de trigonometrische definities gebruiken # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Dit lijkt op een polynoom, met #cos x # ter vervanging van onze traditionele x. Dus verklaren we #cos x = u # en…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Hier de kwadratische formule gebruiken …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Onze wortels vinden plaats bij #u = (1 + -sqrt37) / 6 # volgens dit. Een van deze wortels (# (1 + sqrt37) / 6 #) kan geen root zijn #cos x # omdat de root groter is dan 1, en # -1 <= cosx <= 1 # voor alle x. Onze tweede wortel daarentegen berekent als ongeveer #-.847127#. Dit is echter minder dan de minimumwaarde de #cos x # functie kan op het interval (sinds #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. Dus, er is geen kritisch punt in het domein.

Daarom moeten we terugkeren naar onze eindpunten en ze in de oorspronkelijke functie plaatsen. Als we dat doen, verkrijgen we #f (pi / 2) circa 3.7124, f (3pi / 4) ongeveer 5.6544 #

Ons absolute minimum op het domein is dus ongeveer # (pi / 2, 3.7124), # en ons maximum is ongeveer # (3pi / 4, 5.6544) #