Vraag # 242a2

Antwoord:

Voor de energie die op tijd in de condensator is opgeslagen # T # wij hebben #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # waar #E (0) # is de initiële energie, # C # de capaciteit en # R # de weerstand van de draad die de twee zijden van de condensator verbindt.

Uitleg:

Laten we eerst enkele kernbegrippen bekijken voordat we deze vraag beantwoorden. Natuurlijk moeten we de energie kennen die is opgeslagen in de condensator, of liever de energie die is opgeslagen in het elektrische veld dat wordt gecreëerd door de lading die is opgeslagen in de condensator. Hiervoor hebben we de formule # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # met # C # de capaciteit van de condensator en # Q # de lading opgeslagen op een van de condensatorplaten. 1

Dus om te weten hoe de energie daalt, moeten we weten hoe de lading daalt. Hiervoor zijn er een paar dingen die we in gedachten moeten houden. Het eerste ding is, is dat de lading alleen kan verminderen als het overal kan gaan. Het eenvoudigste scenario is dat de twee platen via een draad zijn verbonden, zodat de platen lading kunnen uitwisselen zodat ze neutraal worden. Het tweede ding is dat als we zouden aannemen dat de draad geen weerstand zou hebben, de lading in staat zou zijn ogenblikkelijk te bewegen, dus zou ook de energie met die snelheid naar nul dalen. Omdat dit een saaie situatie is en bovendien niet echt realistisch, nemen we aan dat de draad enige weerstand heeft # R #, die we kunnen modelleren door de condensatorenplaten via weerstand met een weerstand te verbinden # R # gebruik van draden zonder weerstand.

Wat we nu hebben is een zogenaamd RC-circuit, hieronder te zien. Om erachter te komen hoe de opgeslagen lading verandert, moeten we een differentiaalvergelijking opschrijven. Ik weet niet zeker hoe bekwaam de lezer is in rekenen, dus laat me alsjeblieft weten of het volgende gedeelte onduidelijk is voor jou, en ik zal proberen het in meer detail uit te leggen.

Eerst en vooral merken we op dat als we langs de draad lopen, we twee sprongen elektrisch potentiaal (spanning) ervaren, namelijk bij de condensator en bij de weerstand. Deze sprongen worden gegeven door # DeltaV_C = Q / C # en # DeltaV_R = IR # respectievelijk 1. We merken op dat er aanvankelijk geen stroom is, dus het potentiaalverschil over de weerstand is echter 0, zoals we zullen zien, zal er een stroom zijn wanneer de ladingen beginnen te bewegen. Nu merken we op dat wanneer we vanaf het ene punt rond het circuit lopen, we opnieuw in hetzelfde punt terechtkomen, omdat we in een circuit zitten. Op dit enkele punt is het potentieel beide keren hetzelfde, omdat het hetzelfde punt is. (Als ik zeg dat we langs het circuit lopen, bedoel ik dit niet letterlijk, in plaats daarvan inspecteren we de spanningsprongen op het circuit op een bepaald moment, dus er gaat geen tijd over tijdens het wandelen langs het circuit, daarom is het argument geldig, zelfs als de spanning verandert in de tijd.)

Dit betekent dat de totale potentiële sprong nul is. Zo # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Nu denken we na over wat #IK#, de stroom is. Stroom is bewegende lading, het neemt een positieve lading weg van één condensatorplaat en levert naar de andere. (Eigenlijk is het meestal de andere kant op, maar het maakt niet uit voor de wiskunde van dit probleem.) Dit betekent dat de stroom gelijk is aan de verandering in lading op de platen, met andere woorden # I = (dQ) / dt #. Het vervangen van dit in de bovenstaande vergelijking geeft ons # (DQ) / DTR + Q / C = 0 #, wat betekent # (DQ) / dt = Q / (CR) #. Dit is een zogenaamde lineaire eerste-orde differentiaalvergelijking. Het dicteert de verandering in de lading door de waarde van de lading op dat moment op een lineaire manier, wat betekent dat als de lading twee keer zo groot zou zijn, de verandering van lading ook tweemaal zo groot zou zijn. We kunnen deze vergelijking oplossen door slim calculus te gebruiken.

# (DQ) / dt = Q / (CR) #, wij nemen aan # Qne0 #, wat het in eerste instantie niet is, en zoals het zal blijken, zal het nooit gebeuren. We kunnen dit zeggen # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Weten # Q # op een bepaald moment in de tijd # T # (met andere woorden #Q (t) #, we integreren de vergelijking als volgt: # Int_0 ^ t1 / (Q (t)) (dQ (t)) / (dt ') dt' = int_0 ^ t1 / (CR) dt '= - t / (CR) # sinds # C # en # R # zijn constanten. # Int_0 ^ t1 / (Q (t)) (dQ (t)) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # via verandering van variabelen. Dit betekent #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, dus #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Ten slotte moeten we dit terug in de vergelijking vervangen voor de energie:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

Dus de energie valt exponentieel in de loop van de tijd. Dat zien we inderdaad als # R # moesten naar nul gaan, #E (t) # zou onmiddellijk naar 0 gaan.

1 Griffiths, David J. Introductie tot Electrodynamics. Vierde druk. Pearson Education Limited, 2014