Wat is de Taylor-reeks van f (x) = arctan (x)?

#f (x) = {sum_ n = 1} ^ infty (-1) n ^ x ^ {{2n + 1}} / {2n + 1} #

Laten we enkele details bekijken.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Vergeet niet dat de reeks geometrische macht

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

door te vervangen #X# door # -X ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Zo, #f '(x) = {sum_ n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Door te integreren, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

door het integraalteken in de sommatie te plaatsen, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

door Power Rule, # = Sum_ {n = 1} ^ infty (-1) n ^ x ^ {{2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Sinds #f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

Vandaar, #f (x) = {sum_ n = 1} ^ infty (-1) n ^ x ^ {{2n + 1}} / {2n + 1} #