Hoe vind je een kwadratische functie f (x) = ax² + bx + c gegeven minimumwaarde -4 wanneer x = 3; één nul is 6?

Antwoord:

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

Kwadratische functies zijn symmetrisch over hun hoekpunt, dat wil zeggen bij x = 3, dus dit impliceert dat de andere nul op x = 0 staat.

We weten dat de hoek zich voordoet bij x = 3, dus de eerste afgeleide van de functie geëvalueerd op x = 3 is nul.

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

We weten ook de waarde van de functie zelf op x = 3, #f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

We hebben twee vergelijkingen maar drie onbekenden, dus we hebben een andere vergelijking nodig. Kijk naar de bekende nul:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

We hebben nu een systeem van vergelijkingen:

# ((6, 1, 0), (9,3,1), (36,6,1)) ((a), (b), (c)) = ((0), (- 4), (0)) #

Om de oplossingen af te lezen, willen we onze coëfficiëntmatrix reduceren tot gereduceerde echelonvorm met behulp van elementaire rijbewerkingen.

Vermenigvuldig de eerste rij met #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

Toevoegen #-9# keer de eerste rij naar de tweede rij:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

Toevoegen #-36# keer de eerste rij tot de derde:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

Vermenigvuldig de tweede rij met #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

Toevoegen #-2/3# keer de derde rij naar de tweede rij:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Toevoegen #-1/6# keer de tweede tot de eerste

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Het uitvoeren van deze reeks bewerkingen aan de oplossingsvector geeft:

#((4/9),(-8/3),(0))#

Dus de oplossingen aflezen die we hebben # a = 4/9 en b = -8 / 3 #

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

graph {4/9 x ^ 2 - 8/3 x -7.205, 12.795, -5.2, 4.8}