Een akkoord met een lengte van 12 loopt van pi / 12 naar pi / 6 radialen op een cirkel. Wat is het gebied van de cirkel?

Antwoord:

Gebied van een cirkel is

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Uitleg:

Het bovenstaande plaatje geeft de voorwaarden weer die in het probleem zijn gesteld. Alle hoeken (vergroot voor een beter begrip) zijn in radialen die tellen vanaf de horizontale X-as #OS# tegen de klok in.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

We moeten een straal van een cirkel vinden om het gebied te bepalen.

We kennen dat akkoord # AB # heeft lengte #12# en een hoek tussen radius # OA # en # OB # (waar #O# is een middelpunt van een cirkel)

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Construeer een hoogte #OH# van een driehoek # Delta AOB # van vertex #O# Kant kiezen # AB #. Sinds # Delta AOB # is gelijkbenig, #OH# is een middellijn en een bissectrice:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Overweeg een rechthoekige driehoek # Delta AOH #.

We kennen die cathetus # AH = 6 # en hoek # / _ AOH = pi / 24 #.

Daarom hypotenusa # OA #, dat is een straal van onze cirkel # R #, is gelijk aan

# R = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Als we een straal kennen, kunnen we een gebied vinden:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Laten we dit uitdrukken zonder trigonometrische functies.

Sinds

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

we kunnen het gebied als volgt uitdrukken:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Een andere trigonometrische identiteit:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

daarom

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Nu kunnen we het gebied van een cirkel weergeven als

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Antwoord:

Een andere aanpak hetzelfde resultaat

Uitleg:

Het akkoord AB van lengte 12 in de bovenstaande figuur loopt van# Pi / 12 # naar # Pi / 6 # in de cirkel van straal r en centrum O, genomen als oorsprong.

# / _ AOX = pi / 12 # en # / _ BOX = pi / 6 #

Dus polaire coördinaat van A # = (R, pi / 12) # en die van B # = (R, pi / 6) #

Toepassing van afstandsformule voor poolcoördinaten

de lengte van het akkoord AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Dus deel van de cirkel

# = Pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #